Les mathématiques de l’investissement en bourse
Maciej Augustyniak et Claudia Gagné, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal
Pour gagner de l’argent en bourse, il faut prendre des risques. Si votre ami vous proposait d’investir 100$ dans les actions de McDonald, de Facebook et de Bombardier, dans quelles proportions placeriez-vous votre argent dans ces compagnies? En 1952, l’économiste Harry Markowitz proposa une solution élégante à ce problème en développant une théorie sur la base de principes mathématiques qui lui mérita un prix Nobel. Nous verrons les idées principales de cette théorie et expliquerons comment elle nous indique d’investir un 100$ en bourse.
Chasse au trésor mathématique (1 journée)
Charles Alexandre Bédard, Alexis Langlois-Rémillard, Jean-Michel Lemay, Alexis Leroux-Lapierre, Yvan Saint-Aubin, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal
La journée touristique du camp se transforme en chasse au trésor mathématique ! Charles, Alexis, Jean-Michel, Alexis et Yvan se grattent la tête pour en organiser les dédales et vous trouver les énigmes mathématiques les plus intéressantes à résoudre. Des questions difficiles, mais passionnantes. Ces questions vous feront visiter des monuments (mathématiques !) de l'île de Montréal. L’équipe de la chasse au trésor vous promet qu’ils savent résoudre les questions qu’ils vous soumettront !
Les mathématiques de la synchronisation
Luciano Buono, Faculty of Science, University of Ontario Institute of Technology
Le concept de synchronisation dans la vie de tous les jours nous est assez familier. Pensons par exemple à des sports comme la nage ou le plongeon synchronisé; nous jugeons de la qualité des performances par la capacité des participants à effectuer des mouvements identiques au même moment. Le concept de synchronisation tel qu’utilisé en mathématiques et en science suit le même principe. On dit que la synchronisation survient lorsque des unités dynamiques de même nature se mettent à évoluer de manière identique en tout temps. Un des exemples les plus spectaculaires est donné par les colonies de lucioles sur les arbres en bordure de rivières en Thaïlande dont le clignotement synchrone crée un effet d'arbre de Noël gigantesque (https://www.youtube.com/watch?v=sROKYelaWbo).
Les phénomènes de synchronisation sont connus depuis bien longtemps, mais leur étude plus systématique remonte aux écrits de Christiaan Huygens au 17e siècle. Or, les dernières décennies ont révélé une multitude de situations, par exemple en physique et en physiologie, où la synchronisation ou la perte de synchronisation est une question cruciale. Parallèlement, une théorie mathématique de la synchronisation a émergé et avec la puissance de calcul des ordinateurs, les simulations numériques ont permis d'explorer cette théorie au delà de la puissance analytique des mathématiques. De plus, les simulations permettent aussi de visualiser l'évolution vers la synchronisation.
Nous allons explorer les phénomènes de synchronisation à l’aide de simulations utilisant le logiciel MATLAB. Ces simulations se basent sur la théorie des systèmes dynamiques et plus particulièrement les solutions périodiques et chaotiques. Entre autres, grâce à la synchronisation, nous effectuerons un exercice de communication encrypté par le chaos.
Comment former les équipes les plus performantes?
Marilène Cherkesly, GERAD et département de management et technologie, UQÀM
Savez-vous ce qu’ont en commun Elmer Lach, Maurice Richard et Toe Blake? Connus sous le nom de « Punch Line », ils ont fait partie d’une des lignes offensives les plus célèbres au hockey dans les années 1940. Savez-vous quel est le lien entre la formation des lignes offensives au hockey et la recherche opérationnelle? La recherche opérationnelle est une discipline des mathématiques qui a pour objectif de déterminer les choix les plus efficaces. Lors de la création d’une ligne offensive, la compatibilité des joueurs est un enjeu important car elle déterminera sa performance.
L’objectif de cet atelier est d’initier les participants à la recherche opérationnelle et au problème de formation d’équipes. Les participants seront d’abord invités à comprendre la notion de préférence et de compatibilité lors de la formation d’équipes. Par la suite, ils modéliseront mathématiquement le problème de formation d’équipes à l’aide de variables, d’une fonction objectif et de contraintes. Le modèle développé sera implanté afin de déterminer la solution optimale pour un cas particulier. Pour conclure, les participants discuteront de la définition de performance au sein des équipes et verront comment celle-ci peut avoir un impact sur leur formation.
Challenger et la statistique : tout un défi! (1 demi-journée)
David Haziza et Christian Léger, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal
Le 27 janvier 1986, la navette spatiale Challenger a pris son envol suite à la décision prise de permettre le décollage malgré le temps froid à Cape Canaveral, Floride. En effet, la veille les ingénieurs avaient dû évaluer les risques de faire décoller une navette spatiale alors que la température prévue pour le décollage était de 31⁰ F, soit tout juste sous le point de congélation. Les ingénieurs ont regardé les données d’incidents lors de décollages précédents afin de voir s’il y avait un lien avec la température.
Nous allons nous inspirer de ce jeu de données pour explorer le monde fascinant de la statistique. Nous aborderons la notion de probabilité et son interprétation fréquentiste ainsi que celle de paramètre et son estimation. Nous verrons ce qui arrive à la distribution de certains estimateurs lorsque la taille de l’échantillon augmente. Nous verrons certains modèles simples et certains plus complexes qui permettent d’expliquer une variable, comme le nombre d’incidents, par une ou plusieurs autres comme la température. Nous verrons comment la distribution d’un estimateur peut nous aider à décider si la relation liant deux variables pourrait être due au hasard. Nous comprendrons l’importance de considérer toutes les données lorsqu’on fait une analyse statistique. Et nous reviendrons au jeu de données de Challenger pour mieux comprendre le risque d’envoyer une navette spatiale lorsque la température prévue est de 31⁰ F.
Cet atelier sera interactif et aura lieu dans la salle informatique. En plus d’explications magistrales, vous explorerez certaines notions théoriques à partir de vos connaissances en calcul différentiel et intégral. Mais surtout, vous utiliserez le logiciel libre R tant pour faire des simulations que pour analyser vous-même des données. La statistique est un domaine passionnant où le marché de l’emploi est excellent pour quiconque aime les mathématiques et veut les utiliser pour mieux comprendre des phénomènes à partir de données provenant d’horizons aussi divers que, par exemple, la médecine, la santé publique, la finance, le commerce, la production industrielle, etc.
Sommes de deux carrés
Dimitris Koukoulopoulos, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal
Voici la suite des entiers qui peuvent s'écrire comme sommes de deux carrés :
1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 144, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, ...
Quel est le motif? Croyez-vous qu'il y a périodicité cachée?
C'est ma tournée!
Jean-Yves Potvin, Ines Mathlouthi et MahaGmira, département d’informatique et de recherche opérationnelle, Université de Montréal
Les problèmes de tournées de véhicules se rencontrent dans de nombreuses applications pratiques, tels les services de courrier rapide, le transport adapté, la livraison de biens et services, etc. Il s’agit essentiellement de déterminer dans quel ordre les clients doivent être visités par les véhicules afin d’optimiser la distance totale parcourue, tout en respectant certaines contraintes, par exemple la capacité maximale des véhicules.
Dans une première partie, nous nous intéresserons à une version simplifiée des problèmes de tournées de véhicules, soit le problème du voyageur de commerce, où un seul véhicule est disponible pour visiter les clients et où aucune contrainte de capacité n’est imposée. Nous verrons ensuite, dans une seconde partie, un certain nombre d’algorithmes de nature heuristique qui permettent de résoudre rapidement des problèmes de grande taille, sans toutefois garantir l’optimalité de la solution.
L'activité se voudra interactive avec des périodes de résolution de problèmes, question de bien appréhender toute leur complexité.
À la découverte de la topologie
Olivier Rousseau, Cégep de l’Outaouais
Nous savons depuis des centaines d'années que la terre est en fait une sphère. Ce fait qui nous semble si naturel de nos jours a en fait été source de bien des questionnements dans l'histoire de l'humanité. Et pour une bonne raison: il s'agit d'une question vraiment complexe! En tant qu'humain, nous ne voyons que des étendues "plates", comment peut-on alors déterminer la forme globale de notre monde si nous ne pouvons l'observer de l'extérieur?
La question de la forme de la terre est résolue, mais quelle est la forme de l'univers? Comme nous ne pouvons l'observer de l'extérieur, que pourrait-on faire pour répondre à cette question? En fait, il y a beaucoup d'autres domaines scientifiques où le même problème se pose: comment déterminer et caractériser la forme générale d'un objet: est-ce une sphère? un beigne? un objet plus étrange? Quelle est sa dimension?
Dans cet atelier, nous allons donner des pistes de solutions. Il y aura une section intuitive avec de beaux dessins, et une partie plus formelle où nous allons parler d'homotopie et d'homologie, qui sont les outils modernes pour répondre à ces questions.
Les codes secrets
Alain Tapp, département d’informatique et de recherche opérationnelle, Université de Montréal
L’histoire des codes secrets à travers les âges est absolument fascinante. Nous verrons comment les codes ont évolué à partir de la Rome antique en passant par l’Europe de la renaissance, la deuxième guerre mondiale et jusqu’à notre époque où ils sont omniprésents sur internet. C’est une bataille remplie de rebondissement entre le faiseur de codes (cryptographe) et les briseurs de codes (cryptanalystes). Au travers de problèmes, nous jouerons aux cryptographes et aux pirates informatiques : ce n’est pas un hasard si les compagnies de cryptographie engagent souvent des cryptanalystes (aussi appelés hackers). Nous aborderons aussi les liens étroits qu’entretient ce domaine avec l’informatique et les mathématiques. La théorie des nombres, l’algèbre et la complexité sont au cœur de la cryptographie.
