Les inscriptions pour l'automne 2024 sont terminées.

Le but de ce programme est d'attiser la curiosité des étudiants du premier cycle et de les initier à la recherche les encourageant à approfondir certains sujets de mathématique ou de statistique qui ne seront pas abordés ou rencontrés brièvement au cours de leur programme de baccalauréat. Chacun des étudiants inscrits est jumelé à un étudiant des cycles supérieurs sous un rôle de mentor-mentoré afin d'attaquer un sujet d'intérêt.

Déroulement

Le programme débute au début des sessions d'automne et d'hiver et s'étend sur une durée de 14 semaines, dont 10 semaines sont réservées à l'étude d'un sujet. Au cours des deux premières semaines du début des classes, les étudiants peuvent s'inscrire afin d'être jumelés à un autre étudiant. Durant les dix semaines qui suivent, chaque duo sera encouragé à tenir des rencontres hebdomadaires d'environ une heure afin de solidifier les acquis et de planifier les futures tâches. Il est attendu que l'étudiant de premier cycle investisse environ quatre à cinq heures de travail individuel à son projet à chaque semaine. Au bout de ces dix semaines, le mentoré devra alors écrire un rapport sous format d'article scientifique afin d'exposer ses nouveaux acquis qu'il devra remettre à la fin des deux semaines suivantes. Il pourra aussi présenter ses recherches s'il le souhaite devant les autres participants.

Certains sujets nécessitent que l'étudiant de premier cycle ait passé des cours prérequis à leur étude. Dû à cette contrainte, les étudiants de premières années sont encouragés à se concentrer à l'étude de leur cours plutôt qu'à un projet de lecture dirigée.

Les jumelages sont d'abord basés sur les intérêts de chacun et sur la disponibilité des mentors. Une liste de sujets d'étude est proposée. Si un étudiant souhaite étudier un autre sujet, il doit le proposer par courriel au responsable du programme. Le message doit contenir une brève description avec des références.

Inscription

Pour la session d'automne 2024, les inscriptions se termineront le dimanche 29 septembre à 23h59. Les jumelages seront annoncés d'ici le lundi 30 septembre.

Sujets d'études

• Estimateur de vraisemblance maximale par Monte Carlo

  L'estimateur de vraisemblance maximale est communément utilisé en statistique, mais lorsque la vraisemblance est incalculable, il devient difficile de l'obtenir. Une idée est de construire une suite de fonctions, toute calculable, qui hypoconverge vers notre vraisemblance. On verra que, sous certaines conditions, les maximums des fonctions convergeront aussi vers notre estimateur, et qu'ils partageront certaines propriétés asymptotiques.

  Prérequis: Pour cette étude, il faut posséder une base en statistique (STT2700). Être motivé est aussi requis, car l'étudiant touchera, selon son désir, à la topologie, à la théorie de la mesure, ou encore à certaines techniques avancées d'optimisation.

• Théorie de Ramsey

  La théorie de Ramsey montre que dans les grands objets, l'ordre est inévitable. Des théorèmes y appartenant se situent en théorie des graphes, en combinatoire additive et en géométrie, entre autres, et leurs premières applications furent en logique et en théorie des nombres!

  Prérequis: Il faut avoir complété les cours MAT1500 et MAT1720.

• Théorie des ensembles

  Considérer l'ensemble X de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Si X se contient lui-même, alors il ne se contient pas lui-même par définition, et s'il ne se contient pas lui-même, alors il se contient, par définition. C'est ce genre de paradoxe qui motive l'étude de la théorie des ensembles moderne.

  Prérequis: Il faut avoir complété le cours de mathématique discrète et posséder une certaine maturité mathématique.

• Logique mathématique

  Au courant des années 1920, David Hilbert propose de chercher un ensemble d'axiomes cohérent duquel on pourrait déduire toutes les mathématiques. Son optimisme fut toutefois de courte durée, puisqu'en 1931, Gödel montre qu'il est impossible d'à la fois pouvoir déduire toutes les mathématiques et montrer que le système d'axiomes est cohérent. On verra au cours de projets les concepts de base et des théorèmes importants en logique et on survolera les résultats de Gödel si le temps le permet.

  Prérequis: Il faut avoir complété le cours MAT1500, et posséder une certaine maturité mathématique. Des concepts plus avancés peuvent être couverts si l'étudiant a suivi PHI1005 ou un autre cours de logique mathématique.

• Déformations isomonodromiques

  Les déformations isomonodromiques sont particulièrement intéressantes en physique mathématique, car elles possèdent un lien avec le système de Garnier et l'équation de Painlevé VI. Le but du projet sera d'étudier ces concepts en plus des surfaces de Riemann, de lire une partie d'un article de Dragovic-Gontsov-Shramchenko, ainsi que de comprendre quelques résultats que j'ai trouvés au cours de ma maîtrise.

  Prérequis: Les prérequis à ce projet sont des connaissances de base en équations différentielles, en analyse, en analyse complexe et en topologie.

• Introduction à la géométrie non euclidienne

  Nous commencerons en étudiant une approche analytique de la géométrie euclidienne (celle du plan), avec un accent sur le concept d'isométrie. Nous verrons ensuite comment cette approche permet de développer la géométrie sphérique et hyperbolique.

  Prérequis: Nous commencerons en étudiant une approche analytique de la géométrie euclidienne (celle du plan), avec un accent sur le concept d'isométrie. Nous verrons ensuite comment cette approche permet de développer la géométrie sphérique et hyperbolique.

Histoire

Le programme DREAMS (Directed REAding in Mathematics and Statistics) a d'abord été fondé à l'Université de Chicago en 2008. Plusieurs autres universités de l'Amérique du Nord ont à leur tour mis sur pied ce programme. En 2022, l'Institut des sciences mathématiques ont ensuite leurs universités membres à instaurer ce programme.