Examens passés:
L’étudiant(e) devra choisir deux sujets parmi les cinq ci-dessous lors de son inscription et répondre aux questions sur ces sujets lors de l’épreuve.
SUJET 1 : Analyse numérique (3 questions) :
Analyse numérique élémentaire :
Résolution d’une équation algébrique non linéaire, systèmes algébriques non linéaires, interpolation et approximation de fonctions, dérivation et intégration numériques.
Analyse numérique matricielle :
Méthodes directes, sensibilité de systèmes linéaires, conditionnement et effets des erreurs d’arrondi, factorisations A=LU et A=LLT. Méthodes itératives, gradients conjugués. Valeurs et vecteurs propres : méthodes des puissances, de Householder, QR, des moindres carrés.
Méthodes numériques pour les équations différentielles :
Problèmes de conditions initiales ou aux limites, méthodes d’Euler, d’Euler modifiée, de Runge-Kutta, multipas. Stabilité, compatibilité, convergence et ordre de précision.
Méthodes numériques pour les équations aux dérivés partielles :
Stabilité, compatibilité, convergence. Équations linéaires paraboliques (diffusion) et elliptiques (Laplace, Poisson, etc.); différences finies, éléments finis. Équations linéaires hyperboliques (ondes). Méthode de von Neumann-Fourier pour l’analyse de la stabilité.
Références suggérées pour le sujet 1:
[BF] R.L. Burden, J.D. Faires, Numerical Analysis, 9e Edition, Brooks Cole, (2011) : [Chapitres 1 à 4 et 10].
[Le] R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM, (2007): [Chapitres 3, 5 à 10].
[TB] L.N. Trefethen, D Bau, III, Numerical Linear Algebra, SIAM, (1997) : [Cours 7, 8, 10 à 14, 24 à 30, 38 et 40].
Cours suggérées pour le sujet 1:
Les cours suggérés pour ce sujet sont MAT6473 Calcul scientifique, MATH 578 Numerical Analysis I, MATH 579 Numerical Differential Equations. (Les cours de sigle MATH sont offerts à l’université McGill).
SUJET 2 : Mécanique des fluides (3 questions) :
Idées préliminaires :
Dynamique des écoulements idéaux, rotationnel de la vitesse d’écoulement, théorèmes de circulation.
Aérodynamique :
Écoulements potentiels, théorie bidimensionnelle des profils, éléments de la théorie potentielle complexe.
Écoulements visqueux compressibles et incompressibles, équations de Navier-Stokes, écoulements à nombre de Reynolds faible (), couches limites laminaires ().
Vagues (en eau) :
Instabilités hydrodynamiques, convection thermique.
Références suggérées pour le sujet 2:
[Ac] D.J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics,Oxford Applied Mathematics and Computing Series, Clarendon Press, (1995): [Chapitres 1 à 9].
[Ch] P. Charbonneau, Notes de cours PHY3140, Université de Montréal : [Chapitres 1 à 6 et 9 à 11].
Cours suggérées pour le sujet 2:
Les cours suggérés pour ce sujet sont MAT6475 Mécanique des fluides et PHY3140 Hydrodynamique.
SUJET 3 : Systèmes dynamiques (3 questions) :
Rappel des systèmes linéaires :
Équations de différences et équations différentielles linéaires. Utilisation de la théorie de Perron-Frobenius pour les matrices positives et de la forme de Jordan pour les matrices quelconque.
Théorie locale des systèmes non linéaires :
Dépendance aux conditions initiales et aux paramètres. Théorème de la variété stable. Théorème de Hartman-Grobman. Stabilité et fonctions de Lyapounov. Types d’équilibre : nœud, col, centre, foyer. Théorème de la variété centre. Forme normale de Poincaré.
Théorie globale des systèmes non linéaires :
Orbites périodiques et cycles limites. Application de premier retour de Poincaré. Théorème de Poincaré-Bendixson. Stabilité structurelle. Dépendance sensible aux conditions initiales. Théorie locale des bifurcations. Bifurcation de Hopf.
Théorie Ergodique :
Mesures invariantes, attracteurs étranges, dynamique chaotique et dynamique symbolique
Références suggérées pour le sujet 3:
[Wi] S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos (second edition), Springer, New York, US, (2003). [Chapitres 1-4 (stability and solutions), chapitres 20-21(bifurcations), chapitres 24, 29-30 (chaos)]
[BS] M. Brin, G. Stuck, Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge, UK, (2002) (Matériel supplémentaire)
[St] S.H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos : With applications to physics, biology, chemistry, and engineering, Perseus Books, Massachusetts, US, (1994) (Matériel supplémentaire)
Cours suggérées pour le sujet 3:
Le cours suggéré pour ce sujet est MAT 6215 Systèmes dynamiques.
SUJET 4 : Biomathématiques (3 questions) :
Modèles en épidémiologie :
SI, SIR, SEIR
Modèles de systèmes réactionnels :
Cinétique des enzymes, stochasticité (équation maîtresse)
Dynamiques de virus :
Modélisation, analyse et interprétation : modèle de base, quasi-espèce, modèle du VIH, modèles d’interventions et traitements antirétroviraux
Génétique des populations :
Modèles de Hardy-Weinberg, Moran et Wright-Fisher, processus de branchement, la coalescente, hétérogénéité en cancer
Références suggérées pour le sujet 4:
J.D. Murray, Mathematical Biology I. An introduction. Interdisciplinary Applied Mathematics (17). Springer Verlag. 2002. Chapitres 6 (Reaction kinetics), 10 (Dynamics of infectious diseases : Epidemic models and AIDS)
G. de Vries, T. Hillen, M. Lewis, J. Müller, B. Schönfisch. A course in mathematical biology : Quantitative modeling with mathematical and computational methods. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2006. Chapitre 5 (Stochastic models)
M. Nowak and R. May. Virus dynamics : Mathematical principles of immunology and virology. Oxford University Press. 2001. Chapitres 1 (Introduction : viruses, immunity, equations), 2 (HIV), 3 (Basic model of viral dynamics), 4 (Anti-viral drug therapy)
J. Wakeley. Coalescent theory : An introduction. Roberts and Company Publishers. 2008. Chapitres 3 (The coalescent), 4 (Neutral genetic variation)
Cours suggérées pour le sujet 4:
Les cours suggérés pour ce sujet sont MAT 6461 Génétique mathématique et biologie des systèmes, MAT 6463 Mathématiques biologiques
SUJET 5 : Neurosciences Mathématique et Théorique (3 questions) :
Modèles de neurones isolés :
Modèle Integrate-and-Fire (IF), modèle de Hodgkin et Huxley, modèle probabiliste de type LN, modèle theta et IF quadratique
Modèles de réseau de neurones :
Modèles réservoirs, réseaux balancés excitateur et inhibiteurs, réseaux récurrents, modèles d'entropie maximale
Techniques d'analyse et de modélisation :
Approche de champs moyen, bifurcations menant aux potentiels d'action, techniques d'analyse d'activité de populations de neurones (réduction de dimensionalité, PCA, correlations)
Références suggérées pour le sujet 5:
[1] Theoretical Neuroscience: Computational and Mathematical Modeling of Neural Systems, P. Dayan & L.F. Abbott, MIT Press. Chapitres 1, 2, 3, 4, 7.
[2] Mathematical Foundations of Neuroscience, G. Bard Ermentrout, David H. Terman, Springer-Verlag New York, DOI 10.1007/978-0-387-87708-2. Chapitres 1, 3, 9.
Cours suggérés pour le sujet 5 :
MAT 6467 Neuroscience Mathématique, MAT 6215 Systèmes dynamiques