Topologie algébrique, différentielle et symplectique.

Je travaille dans un domaine des mathématiques qui s'appelle la géométrie spectrale. Il s'agit d'un domaine pile à l'intersection de l'analyse et de la géométrie.

Les problèmes de la géométrie spectrale sont motivés par l'étude des phénomènes de la vie courante, comme la propagation des sons et de la chaleur, les oscillations des fluides, ainsi que les effets quantiques. En effet, les physiciens parviennent à faire parler la nature dans la langue mathématique pour utiliser la puissance de ce formalisme et déduire des propriétés qu’on pourrait alors appliquer ; mais ceci est possible à condition d’avoir une théorie mathématique suffisamment développée.

Le grand objectif de la géométrie spectrale est de comprendre le lien entre la forme d’un objet (sa géométrie) et les phénomènes physiques qui y ont lieu (propriétés spectrales). C’est la raison pour laquelle les résultats de la géométrie spectrale s’appliquent directement dans plusieurs situations importantes : notamment en géophysique et imagerie médicale, ainsi qu'en traitement d'images en informatique. De plus, l’avantage de travailler avec des concepts abstraits est qu’ils vont pouvoir se réincarner dans de nouveaux concepts : Nous ne sommes pas à l’abris de nouvelles applications dans le futur.

La géométrie spectrale est trop vaste pour être étudiée en globalité, elle poursuit donc plusieurs sous objectifs. L’un d’eux auquel je consacre mon travail de recherche se nomme l’optimisation de forme.

De même que le biologiste a besoin du microscope pour observer les microbes, pour atteindre ses objectifs, le géomètre spectral qui fait de l’optimisation de forme a besoin développe des outils parmi lesquels des inégalités dites isopérimétriques. Il s'agit un domaine en développement rapide, connecté à plusieurs sujets de mathématiques comme la théorie des graphes ou l’homogénéisation.

Dans ma recherche, je chercher à caractériser des géométries qui vont maximiser différents types de problèmes spectraux à l'instar des valeurs propres du p-Laplacien, ou bien des valeurs propres problèmes de type diffusion. Ces derniers s’observent lors de l’écoulement d’une substance à travers un milieu ou une membrane avec une moyenne de vitesse d’entrée/sortie proportionnelle à l’écoulement. Dans le cas de domaines symétriques, ses géométries s’immergent dans des surfaces minimales lisses par morceaux.

L'objectif global est de classifier les géométries maximales dans différentes situations, ce qui augmentera de manière substantielle nos connaissances entre la théorie des transformations harmoniques et la géométrie spectrale.

Analyse géométrique, théorie spectrale. Analyse fonctionnelle, géométrie différentielle, équations aux dérivées partielles.