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Polterovich, Iosif

Vcard

Professeur titulaire

Faculté des arts et des sciences - Département de mathématiques et de statistique

André-Aisenstadt local 5229

514 343-5899

Courriels

Affiliations

  • Membre - CRM — Centre de recherches mathématiques

Cours donnés

  • MAT6120 A - Éq. aux dérivées partielles: sujets spéciaux
  • MAT6340 A - Topologie et géométrie: sujets spéciaux

Expertises

Analyse géométrique, théorie spectrale. Analyse fonctionnelle, géométrie différentielle, équations aux dérivées partielles.

Encadrement Tout déplier Tout replier

Croissance des fonctions propres du laplacien sur un domaine circulaire Thèses et mémoires dirigés / 2011-07
Lavoie, Guillaume
Abstract
Ce mémoire a pour but d'étudier les propriétés des solutions à l'équation aux valeurs propres de l'opérateur de Laplace sur le disque lorsque les valeurs propres tendent vers l'in ni. En particulier, on s'intéresse au taux de croissance des normes ponctuelle et L1. Soit D le disque unitaire et @D sa frontière (le cercle unitaire). On s'inté- resse aux solutions de l'équation aux valeurs propres f = f avec soit des conditions frontières de Dirichlet (fj@D = 0), soit des conditions frontières de Neumann ( @f @nj@D = 0 ; notons que sur le disque, la dérivée normale est simplement la dérivée par rapport à la variable radiale : @ @n = @ @r ). Les fonctions propres correspondantes sont données par : f (r; ) = fn;m(r; ) = Jn(kn;mr)(Acos(n ) + B sin(n )) (Dirichlet) fN (r; ) = fN n;m(r; ) = Jn(k0 n;mr)(Acos(n ) + B sin(n )) (Neumann) où Jn est la fonction de Bessel de premier type d'ordre n, kn;m est son m- ième zéro et k0 n;m est le m-ième zéro de sa dérivée (ici on dénote les fonctions propres pour le problème de Dirichlet par f et celles pour le problème de Neumann par fN). Dans ce cas, on obtient que le spectre SpD( ) du laplacien sur D, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres, est donné par : SpD( ) = f : f = fg = fk2 n;m : n = 0; 1; 2; : : :m = 1; 2; : : :g (Dirichlet) SpN D( ) = f : fN = fNg = fk0 n;m 2 : n = 0; 1; 2; : : :m = 1; 2; : : :g (Neumann) En n, on impose que nos fonctions propres soient normalisées par rapport à la norme L2 sur D, c'est-à-dire : R D F2 da = 1 (à partir de maintenant on utilise F pour noter les fonctions propres normalisées et f pour les fonctions propres quelconques). Sous ces conditions, on s'intéresse à déterminer le taux de croissance de la norme L1 des fonctions propres normalisées, notée jjF jj1, selon . Il est vi important de mentionner que la norme L1 d'une fonction sur un domaine correspond au maximum de sa valeur absolue sur le domaine. Notons que dépend de deux paramètres, m et n et que la dépendance entre et la norme L1 dépendra du rapport entre leurs taux de croissance. L'étude du comportement de la norme L1 est étroitement liée à l'étude de l'ensemble E(D) qui est l'ensemble des points d'accumulation de log(jjF jj1)= log : Notre principal résultat sera de montrer que [7=36; 1=4] E(B2) [1=18; 1=4]: Le mémoire est organisé comme suit. L'introdution et les résultats principaux sont présentés au chapitre 1. Au chapitre 2, on rappelle quelques faits biens connus concernant les fonctions propres du laplacien sur le disque et sur les fonctions de Bessel. Au chapitre 3, on prouve des résultats concernant la croissance de la norme ponctuelle des fonctions propres. On montre notamment que, si m=n ! 0, alors pour tout point donné (r; ) du disque, la valeur de F (r; ) décroit exponentiellement lorsque ! 1. Au chapitre 4, on montre plusieurs résultats sur la croissance de la norme L1. Le probl ème avec conditions frontières de Neumann est discuté au chapitre 5 et on présente quelques résultats numériques au chapitre 6. Une brève discussion et un sommaire de notre travail se trouve au chapitre 7.

Propriétés des valeurs propres de ballotement pour contenants symétriques Thèses et mémoires dirigés / 2012-08
Marushka, Viktor
Abstract
Le problème d?oscillation de fluides dans un conteneur est un problème classique d?hydrodynamique qui est etudié par des mathématiciens et ingénieurs depuis plus de 150 ans. Le présent travail est lié à l?étude de l?alternance des fonctions propres paires et impaires du problème de Steklov-Neumann pour les domaines à deux dimensions ayant une forme symétrique. On obtient des résultats sur la parité de deuxième et troisième fonctions propres d?un tel problème pour les trois premiers modes, dans le cas de domaines symétriques arbitraires. On étudie aussi la simplicité de deux premières valeurs propres non nulles d?un tel problème. Il existe nombre d?hypothèses voulant que pour le cas des domaines symétriques, toutes les valeurs propres sont simples. Il y a des résultats de Kozlov, Kuznetsov et Motygin [1] sur la simplicité de la première valeur propre non nulle obtenue pour les domaines satisfaisants la condition de John. Dans ce travail, il est montré que pour les domaines symétriques, la deuxième valeur propre non-nulle du problème de Steklov-Neumann est aussi simple.

Dégénérescence et problèmes extrémaux pour les valeurs propres du laplacien sur les surfaces Thèses et mémoires dirigés / 2008
Girouard, Alexandre
Abstract
Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Distribution asymptotique des valeurs propres du laplacien sur le triangle équilatéral Thèses et mémoires dirigés / 2008
Lapierre, Élisabeth
Abstract
Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Géométrie spectrale sur le disque : loi de Weyl et ensembles nodaux Thèses et mémoires dirigés / 2007
Gravel, Claude
Abstract
Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Partitions spectrales optimales pour les problèmes aux valeurs propres de Dirichlet et de Neumann Thèses et mémoires dirigés / 2014-10
Péloquin-Tessier, Hélène
Abstract
Les façons d'aborder l'étude du spectre du laplacien sont multiples. Ce mémoire se concentre sur les partitions spectrales optimales de domaines planaires. Plus précisément, lorsque nous imposons des conditions aux limites de Dirichlet, nous cherchons à trouver la ou les partitions qui réalisent l'infimum (sur l'ensemble des partitions à un certain nombre de composantes) du maximum de la première valeur propre du laplacien sur tous ses sous-domaines. Dans les dernières années, cette question a été activement étudiée par B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini et leurs collaborateurs, qui ont obtenu plusieurs résultats analytiques et numériques importants. Dans ce mémoire, nous proposons un problème analogue, mais pour des conditions aux limites de Neumann cette fois. Dans ce contexte, nous nous intéressons aux partitions spectrales maximales plutôt que minimales. Nous cherchons alors à vérifier le maximum sur toutes les $k$-partitions possibles du minimum de la première valeur propre non nulle de chacune des composantes. Cette question s'avère plus difficile que sa semblable dans la mesure où plusieurs propriétés des valeurs propres de Dirichlet, telles que la monotonicité par rapport au domaine, ne tiennent plus. Néanmoins, quelques résultats sont obtenus pour des 2-partitions de domaines symétriques et des partitions spécifiques sont trouvées analytiquement pour des domaines rectangulaires. En outre, des propriétés générales des partitions spectrales optimales et des problèmes ouverts sont abordés.

Croissance et ensemble nodal de fonctions propres du laplacien sur des surfaces Thèses et mémoires dirigés / 2015-07
Roy-Fortin, Guillaume
Abstract
Dans cette thèse, nous étudions les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami - ou simplement laplacien - sur une surface fermée, c'est-à-dire une variété riemannienne lisse, compacte et sans bord de dimension 2. Ces fonctions propres satisfont l'équation $Delta_g phi_lambda + lambda phi_lambda = 0$ et les valeurs propres forment une suite infinie. L'ensemble nodal d'une fonction propre du laplacien est celui de ses zéros et est d'intérêt depuis les expériences de plaques vibrantes de Chladni qui remontent au début du 19ème siècle et, plus récemment, dans le contexte de la mécanique quantique. La taille de cet ensemble nodal a été largement étudiée ces dernières années, notamment par Donnelly et Fefferman, Colding et Minicozzi, Hezari et Sogge, Mangoubi ainsi que Sogge et Zelditch. L'étude de la croissance de fonctions propres n'est pas en reste, avec entre autres les récents travaux de Donnelly et Fefferman, Sogge, Toth et Zelditch, pour ne nommer que ceux-là. Notre thèse s'inscrit dans la foulée du travail de Nazarov, Polterovich et Sodin et relie les propriétés de croissance des fonctions propres avec la taille de leur ensemble nodal dans l'asymptotique $lambda earrow infty$. Pour ce faire, nous considérons d'abord les exposants de croissance, qui mesurent la croissance locale de fonctions propres et qui sont obtenus à partir de la norme uniforme de celles-ci. Nous construisons ensuite la croissance locale moyenne d'une fonction propre en calculant la moyenne sur toute la surface de ces exposants de croissance, définis sur de petits disques de rayon comparable à la longueur d'onde. Nous montrons alors que la taille de l'ensemble nodal est contrôlée par le produit de cette croissance locale moyenne et de la fréquence $sqrt{lambda}$. Ce résultat permet une reformulation centrée sur les fonctions propres de la célèbre conjecture de Yau, qui prévoit que la mesure de l'ensemble nodal croît au rythme de la fréquence. Notre travail renforce également l'intuition répandue selon laquelle une fonction propre se comporte comme un polynôme de degré $sqrt{lambda}$. Nous généralisons ensuite nos résultats pour des exposants de croissance construits à partir de normes $L^q$. Nous sommes également amenés à étudier les fonctions appartenant au noyau d'opérateurs de Schrödinger avec petit potentiel dans le plan. Pour de telles fonctions, nous obtenons deux résultats qui relient croissance et taille de l'ensemble nodal.

Théorème de Pleijel pour l'oscillateur harmonique quantique Thèses et mémoires dirigés / 2015-08
Charron, Philippe
Abstract
L'objectif de ce mémoire est de démontrer certaines propriétés géométriques des fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique. Nous étudierons les domaines nodaux, c'est-à-dire les composantes connexes du complément de l'ensemble nodal. Supposons que les valeurs propres ont été ordonnées en ordre croissant. Selon un théorème fondamental dû à Courant, une fonction propre associée à la $n$-ième valeur propre ne peut avoir plus de $n$ domaines nodaux. Ce résultat a été prouvé initialement pour le laplacien de Dirichlet sur un domaine borné mais il est aussi vrai pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Le théorème a été amélioré par Pleijel en 1956 pour le laplacien de Dirichlet. En effet, on peut donner un résultat asymptotique plus fort pour le nombre de domaines nodaux lorsque les valeurs propres tendent vers l'infini. Dans ce mémoire, nous prouvons un résultat du même type pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Pour ce faire, nous utiliserons une combinaison d'outils classiques de la géométrie spectrale (dont certains ont été utilisés dans la preuve originale de Pleijel) et de plusieurs nouvelles idées, notamment l'application de certaines techniques tirées de la géométrie algébrique et l'étude des domaines nodaux non-bornés.

Les invariants de la chaleur en dimensions 1 et 2, et application à la hiérarchie de Korteweg-De Vries Thèses et mémoires dirigés / 2004
Gagné, Jean-Sébastien
Abstract
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Géométrie nodale et valeurs propres de l'opérateur de Laplace et du p-laplacien Thèses et mémoires dirigés / 2015-09
Poliquin, Guillaume
Abstract
La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l?infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L?objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l?opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d?un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.

Projets de recherche Tout déplier Tout replier

Spectral geometry and topology and their applications CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2017 - 2023

Centre de recherches mathematiques (crm) FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2015 - 2022

Fonctions propres et asymptotiques spectrales FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2015 - 2019

The crm : 50 years of shaping mathematical sciences in canada CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2014 - 2020

Chaire de recherche du canada - geometrie et theorie spectrale SPIIE/Secrétariat des programmes interorganismes à l’intention des établissements / 2014 - 2019

Computational resources for research in mathematics and statistics CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2013 - 2015

Topics in geometric spectral theory CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2012 - 2018

Analyse geometrique and spectral FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2012 - 2016

Chaire de recherche du canada en géométrie et théorie spectrale SPIIE/Secrétariat des programmes interorganismes à l’intention des établissements / 2009 - 2014

Centre de recherches mathematiques (crm) FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2008 - 2016

Publications choisis Tout déplier Tout replier

The legacy of Vladimir Andreevich Steklov

Kuznetsov, Nikolay, Kulczycki, Tadeusz, Kwa\'snicki, Mateusz, Nazarov, Alexander, Poborchi, Sergey, Polterovich, Iosif et Siudeja, Bartlomiej, The legacy of Vladimir Andreevich Steklov 61, 9--22 (2014), , Notices Amer. Math. Soc.

Inverse electrostatic and elasticity problems for checkered distributions

Artemev, Andrei, Parnovski, Leonid et Polterovich, Iosif, Inverse electrostatic and elasticity problems for checkered distributions 29, 075010, 16 (2013), , Inverse Problems

Upper bounds for Steklov eigenvalues on surfaces

Girouard, Alexandre et Polterovich, Iosif, Upper bounds for Steklov eigenvalues on surfaces 19, 77--85 (2012), , Electron. Res. Announc. Math. Sci.

On the Hersch-Payne-Schiffer estimates for the eigenvalues of the Steklov problem

Zhiruar, A. et Polterovich, I., On the Hersch-Payne-Schiffer estimates for the eigenvalues of the Steklov problem 44, 33--47 (2010), , Funktsional. Anal. i Prilozhen.

Shape optimization for low Neumann and Steklov eigenvalues

Girouard, Alexandre et Polterovich, Iosif, Shape optimization for low Neumann and Steklov eigenvalues 33, 501--516 (2010), , Math. Methods Appl. Sci.

Maximization of the second positive Neumann eigenvalue for planar domains

Girouard, Alexandre, Nadirashvili, Nikolai et Polterovich, Iosif, Maximization of the second positive Neumann eigenvalue for planar domains 83, 637--661 (2009), , J. Differential Geom.

Average growth of the spectral function on a Riemannian manifold

Lapointe, Hugues, Polterovich, Iosif et Safarov, Yuri, Average growth of the spectral function on a Riemannian manifold 34, 581--615 (2009), , Comm. Partial Differential Equations

Pleijel's nodal domain theorem for free membranes

Polterovich, Iosif, Pleijel's nodal domain theorem for free membranes 137, 1021--1024 (2009), , Proc. Amer. Math. Soc.

A lower bound for the remainder in Weyl's law on negatively curved surfaces

Jakobson, Dmitry, Polterovich, Iosif et Toth, John A., A lower bound for the remainder in Weyl's law on negatively curved surfaces , Art. ID rnm142, 38 (2008), , Int. Math. Res. Not. IMRN

Estimates from below for the spectral function and for the remainder in local Weyl's law

Jakobson, Dmitry et Polterovich, Iosif, Estimates from below for the spectral function and for the remainder in local Weyl's law 17, 806--838 (2007), , Geom. Funct. Anal.

Spectral problems with mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions: isospectrality and beyond

Jakobson, Dmitry, Levitin, Michael, Nadirashvili, Nikolai et Polterovich, Iosif, Spectral problems with mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions: isospectrality and beyond 194, 141--155 (2006), , J. Comput. Appl. Math.

Isospectral domains with mixed boundary conditions

Levitin, Michael, Parnovski, Leonid et Polterovich, Iosif, Isospectral domains with mixed boundary conditions 39, 2073--2082 (2006), , J. Phys. A

Extremal metric for the first eigenvalue on a Klein bottle

Jakobson, Dmitry, Nadirashvili, Nikolai et Polterovich, Iosif, Extremal metric for the first eigenvalue on a Klein bottle 58, 381--400 (2006), , Canad. J. Math.

How large can the first eigenvalue be on a surface of genus two?

Jakobson, Dmitry, Levitin, Michael, Nadirashvili, Nikolai, Nigam, Nilima et Polterovich, Iosif, How large can the first eigenvalue be on a surface of genus two? , 3967--3985 (2005), , Int. Math. Res. Not.

Lower bounds for the spectral function and for the remainder in local Weyl's law on manifolds

Jakobson, Dmitry et Polterovich, Iosif, Lower bounds for the spectral function and for the remainder in local Weyl's law on manifolds 11, 71--77 (2005), , Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc.

Regularized traces and Taylor expansions for the heat semigroup

Hitrik, Michael et Polterovich, Iosif, Regularized traces and Taylor expansions for the heat semigroup 68, 402--418 (2003), , J. London Math. Soc. (2)

Combinatorics of the heat trace on spheres

Polterovich, Iosif, Combinatorics of the heat trace on spheres 54, 1086--1099 (2002), , Canad. J. Math.

Explicit constructions of universal $\Bbb R$-trees and asymptotic geometry of hyperbolic spaces

Dyubina, Anna et Polterovich, Iosif, Explicit constructions of universal $\Bbb R$-trees and asymptotic geometry of hyperbolic spaces 33, 727--734 (2001), , Bull. London Math. Soc.

A commutator method for computation of heat invariants

Polterovich, Iosif, A commutator method for computation of heat invariants 11, 139--149 (2000), , Indag. Math. (N.S.)

Heat invariants of Riemannian manifolds

Polterovich, Iosif, Heat invariants of Riemannian manifolds 119, 239--252 (2000), , Israel J. Math.

From Agmon-Kannai expansion to Korteweg-de Vries hierarchy

Polterovich, Iosif, From Agmon-Kannai expansion to Korteweg-de Vries hierarchy 49, 71--77 (1999), , Lett. Math. Phys.

Structures at infinity of hyperbolic spaces

Dyubina, A. G. et Polterovich, I. V., Structures at infinity of hyperbolic spaces 53, 239--240 (1998), , Uspekhi Mat. Nauk

An asymptotic subcone of the Lobachevski plane as afunction space

Polterovich, I. et Shnirelman, A., An asymptotic subcone of the Lobachevski plane as afunction space 52, 209--210 (1997), , Uspekhi Mat. Nauk

On a characterization of flat metrics on $2$-torus

Polterovich, I. V., On a characterization of flat metrics on $2$-torus 2, 89--101 (1996), , J. Dynam. Control Systems