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Cornea, Octavian

Vcard

Professeur titulaire

Faculté des arts et des sciences - Département de mathématiques et de statistique

André-Aisenstadt Local 6151

514 343-7526

Courriels

Affiliations

  • Membre Centre de recherches mathématiques
  • Membre CRM — Centre de recherches mathématiques

Expertise

Topologie algébrique, différentielle et symplectique.

Encadrement Tout déplier Tout replier

Croisements de lignes de flot entre fonctions de Morse et décomposition en cône itéré Thèses et mémoires dirigés / 2020-08
Fontaine, Paul
Abstract
Ce mémoire présente une nouvelle méthode d’étudier des fonctions de Morse sur une variété compacte. Plus précisément, les croisements entre les lignes de flot de pseudo-gradients associés à des fonctions de Morse permettent de définir géométriquement des morphismes entre les complexes de Morse, morphismes qui ne peuvent généralement pas être obtenus par une homotopie. Cette nouvelle classe de morphismes mène à la définition d’une catégorie triangulée. La question centrale est de savoir si tout objet de cette catégorie est décomposable en cône itéré de fonctions de Morse parfaites. En effet, une telle décomposition simplifierait l’étude de la dynamique d’une fonction de Morse en l’interprétant plutôt comme plusieurs fonctions parfaites. Une seconde question d’importance porte sur une condition de généricité globale à laquelle est soumise cette catégorie triangulée. Nous étudions la possibilité de s’en soustraire en proposant une méthode de déformations des fonctions de Morse.

Groupes de cobordisme lagrangien immergé et structure des polygones pseudo-holomorphes Thèses et mémoires dirigés / 2018-12
Perrier, Alexandre
Abstract
Cette thèse s'intéresse à la théorie de Floer pour les immersions lagrangiennes. On commence par montrer un théorème de décomposition des disques pseudo-holomorphes à bord dans une immersion générique. On donne ensuite une application au calcul du complexe de Floer. On conclut par une esquisse d'un travail en cours sur le calcul de l'obstruction de la chirurgie de deux lagrangiennes plongées et transverses. Dans un deuxième temps, on se restreint au cas des surfaces. On montre qu'un groupe de cobordisme dont les relations sont données par certains cobordismes lagrangien immergés est isomorphe au groupe de Grothendieck de la catégorie de Fukaya. Au passage, on calcule le groupe de cobordisme lagrangien immergé.

Fukaya categories of Lagrangian cobordisms and duality Thèses et mémoires dirigés / 2018-11
Campling, Emily
Abstract
On introduit un nouveau type de structure de dualité pour les A_∞-catégories appelée correspondance de Calabi-Yau faible relative qui généralise la notion de Kontsevich et Soibelman d'une structure de Calabi-Yau faible (propre). On démontre l'existence d'une correspondance de Calabi-Yau faible relative sur la catégorie de Fukaya de cobordismes lagrangiens Fuk_cob(C x M) de Biran et Cornea. Ici M est une variété symplectique fermée ou convexe à l'infini. Cette structure de dualité sur Fuk_cob(C x M) étend la dualité relative de Poincaré satisfaite par les complexes de Floer pour les paires de cobordismes lagrangiens. De plus, on montre que la correspondance de Calabi-Yau faible relative sur Fuk_cob(C x M) satisfait à une condition de compatibilité avec la structure de Calabi-Yau faible usuelle sur la catégorie de Fukaya monotone de M. La construction de la correspondance de Calabi-Yau faible relative sur Fuk_cob(C x M) est basée sur des comptes de courbes dans C x M satisfaisant à une équation de Cauchy-Riemann non linéaire non homogène. Afin de démontrer l'existence de cette structure de dualité et de vérifier ses propriétés, on étend les méthodes de Biran et Cornea pour établir des résultats de régularité et de compacité pour les espaces de modules pertinents. On considère également les implications de l'existence de la correspondance de Calabi-Yau faible relative sur Fuk_cob(C x M) pour la décomposition en cônes dans la catégorie de Fukaya dérivée de M associée à un cobordisme lagrangien et on présente un exemple concernant la chirurgie lagrangienne.

Complexes de type Morse et leurs équivalences Thèses et mémoires dirigés / 2017-04
Morin, Audrey
Abstract
Ce mémoire est une étude détaillée de certains aspects de la théorie de Morse et des complexes de chaînes qui en découlent : le complexe de Morse, le complexe de Milnor et le complexe de Barraud-Cornea. À l’aide de différentes techniques de la topologie différentielle et de la théorie de Morse, dont les bases forment les premiers chapitres de ce texte, nous ferons la construction détaillée de ces trois complexes avant de démontrer leurs équivalences deux à deux. Ce mémoire synthétise et met en parallèle trois branches de la théorie de Morse en ne supposant que des connaissances du niveau d’un étudiant de début maîtrise.

Complexe de Morse et bifurcations Thèses et mémoires dirigés / 2015-01
Duquerroix, Florian
Abstract
Soit une famille de couples (ft,Xt)t∈J , où J est un intervalle, ft est une fonction lisse à valeurs réelles définie sur une variété lisse et compacte V , et Xt est un pseudo-gradient associé à la fonction ft. L’objet de ce mémoire est l’étude des bifurcations subies par les complexes de Morse associés à ces couples. Deux approches sont utilisées : l’étude directe des bifurcations et l’approche par homotopie. On montre que finalement ces deux approches permettent d’obtenir les mêmes résultats d’un point de vue fonctoriel.

Cobordismes lagrangiens et uniréglage Thèses et mémoires dirigés / 2014-11
Létourneau, Vincent
Abstract
Ce mémoire traite de la question suivante: est-ce que les cobordismes lagrangiens préservent l'uniréglage? Dans les deux premiers chapitres, on présente en survol la théorie des courbes pseudo-holomorphes nécessaire. On examine d'abord en détail la preuve que les espaces de courbes $ J $-holomorphes simples est une variété de dimension finie. On présente ensuite les résultats nécessaires à la compactification de ces espaces pour arriver à la définition des invariants de Gromov-Witten. Le troisième chapitre traite ensuite de quelques résultats sur la propriété d'uniréglage, ce qu'elle entraine et comment elle peut être démontrée. Le quatrième chapitre est consacré à la définition et la description de l'homologie quantique, en particulier celle des cobordismes lagrangiens, ainsi que sa structure d'anneau et de module qui sont finalement utilisées dans le dernier chapitre pour présenter quelques cas ou la conjecture tient.

Exact Lagrangian cobordism and pseudo-isotopy Thèses et mémoires dirigés / 2014-09
Suárez López, Lara Simone
Abstract
Dans cette thèse, on étudie les propriétés des sous-variétés lagrangiennes dans une variété symplectique en utilisant la relation de cobordisme lagrangien. Plus précisément, on s'intéresse à déterminer les conditions pour lesquelles les cobordismes lagrangiens élémentaires sont en fait triviaux. En utilisant des techniques de l'homologie de Floer et le théorème du s-cobordisme on démontre que, sous certaines hypothèses topologiques, un cobordisme lagrangien exact est une pseudo-isotopie lagrangienne. Ce resultat est une forme faible d'une conjecture due à Biran et Cornea qui stipule qu'un cobordisme lagrangien exact est hamiltonien isotope à une suspension lagrangianenne.

Source spaces and perturbations for cluster complexes Thèses et mémoires dirigés / 2012-11
Charest, François
Abstract
Dans ce travail, nous définissons des objets composés de disques complexes marqués reliés entre eux par des segments de droite munis d’une longueur. Nous construisons deux séries d’espaces de module de ces objets appelés clus- ters, une qui sera dite non symétrique, la version ⊗, et l’autre qui est dite symétrique, la version •. Cette construction permet des choix de perturba- tions pour deux versions correspondantes des trajectoires de Floer introduites par Cornea et Lalonde ([CL]). Ces choix devraient fournir une nouvelle option pour la description géométrique des structures A∞ et L∞ obstruées étudiées par Fukaya, Oh, Ohta et Ono ([FOOO2],[FOOO]) et Cho ([Cho]). Dans le cas où L ⊂ (M, ω) est une sous-variété lagrangienne Pin± mono- tone avec nombre de Maslov ≥ 2, nous définissons une structure d’algèbre A∞ sur les points critiques d’une fonction de Morse générique sur L. Cette struc- ture est présentée comme une extension du complexe des perles de Oh ([Oh]) muni de son produit quantique, plus récemment étudié par Biran et Cornea ([BC]). Plus généralement, nous décrivons une version géométrique d’une catégorie de Fukaya avec seul objet L qui se veut alternative à la description (relative) hamiltonienne de Seidel ([Sei]). Nous vérifions la fonctorialité de notre construction en définissant des espaces de module de clusters occultés qui servent d’espaces sources pour des morphismes de comparaison.

Quelques propriétés des sous-variétés lagrangiennes monotones : Rayon de Gromov et morphisme de Seidel Thèses et mémoires dirigés / 2012-08
Charette, François
Abstract
Cette thèse présente quelques propriétés des sous-variétés lagrangiennes monotones. On résoud d'abord une conjecture de Barraud et Cornea dans le cadre monotone en montrant que le rayon de Gromov relatif à deux lagrangiennes dans la même classe d'isotopie hamiltonienne donne une borne inférieure à la distance de Hofer entre ces deux mêmes lagrangiennes. Le cas non-monotone de cette conjecture reste ouvert encore. On définit toutes les structures nécessaires à l'énoncé et à la preuve de cette conjecture. Deuxièmement, on définit une nouvelle version d'un morphisme de Seidel relatif à l'aide des cobordismes lagrangiens de Biran et Cornea. On montre que cette version est chaîne-homotope aux différentes autres versions apparaissant dans la littérature. Que toutes ces définitions sont équivalentes fait partie du folklore mais n'apparaît pas dans la littérature. On conclut par une conjecture qui identifie un triangle exact obtenu par chirurgie lagrangienne et un autre dû à Seidel et faisant intervenir le twist de Dehn symplectique.

Éclatement et contraction lagrangiens et applications Thèses et mémoires dirigés / 2010-08
Rieser, Antonio P.
Abstract
Soit (M, ω) une variété symplectique. Nous construisons une version de l’éclatement et de la contraction symplectique, que nous définissons relative à une sous-variété lagrangienne L ⊂ M. En outre, si M admet une involution anti-symplectique ϕ, et que nous éclatons une configuration suffisament symmetrique des plongements de boules, nous démontrons qu’il existe aussi une involution anti-symplectique sur l’éclatement ~M. Nous dérivons ensuite une condition homologique pour les surfaces lagrangiennes réeles L = Fix(ϕ), qui détermine quand la topologie de L change losqu’on contracte une courbe exceptionnelle C dans M. Finalement, on utilise ces constructions afin d’étudier le packing relatif dans (ℂP²,ℝP²).

Structures quantiques de certaines sous-variétés lagrangiennes non-monotones Thèses et mémoires dirigés / 2010-06
Ngô, Fabien
Abstract
Soit (M,ω) un variété symplectique fermée et connexe.On considère des sous-variétés lagrangiennes α : L → (M,ω). Si α est monotone, c.- à-d. s’il existe η > 0 tel que ημ = ω, Paul Biran et Octav Conea ont défini une version relative de l’homologie quantique. Dans ce contexte ils ont déformé l’opérateur de bord du complexe de Morse ainsi que le produit d’intersection à l’aide de disques pseudo-holomorphes. On note (QH(L), ∗), l’homologie quantique de L munie du produit quantique. Le principal objectif de cette dissertation est de généraliser leur construction à un classe plus large d’espaces. Plus précisément on considère soit des sous-variétés presque monotone, c.-à-d. α est C1-proche d’un plongement lagrangian monotone ; soit les fibres toriques de variétés toriques Fano. Dans ces cas non nécessairement monotones, QH(L) va dépendre de certains choix, mais cela sera irrelevant pour les applications présentées ici. Dans le cas presque monotone, on s’intéresse principalement à des questions de déplaçabilité, d’uniréglage et d’estimation d’énergie de difféomorphismes hamiltoniens. Enfin nous terminons par une application combinant les deux approches, concernant la dynamique d’un hamiltonien déplaçant toutes les fibres toriques non-monotones dans CPn.

Homologie de morse et théorème de la signature Thèses et mémoires dirigés / 2009
St-Pierre, Alexandre
Abstract
Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Invariants spectraux en homologie de Floer lagrangienne Thèses et mémoires dirigés / 2007
Leclercq, Rémi
Abstract
Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Opération d'intersection généralisée en théorie de Morse Thèses et mémoires dirigés / 2007
Charette, François
Abstract
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Quelques propriétés du complexe de Morse-Novikov Thèses et mémoires dirigés / 2004
Rousseau, Olivier
Abstract
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Projets de recherche Tout déplier Tout replier

Centre de recherches mathématiques (CRM) CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2022 - 2027

Simons Bridge for Postdoctoral Fellowships at CRM Montreal Simons Foundation / 2021 - 2023

Supplément COVID-19 CRSNG_Geometrization of the derived Fukaya Category CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2020 - 2021

Établissement d'une stratégie visant à favoriser le développement d'une main-d'oeuvre hautement qualifiée en mathématiques appliquées pour des domaines de pointe Ministère des Finances du Québec / 2019 - 2022

Geometrization of the derived Fukaya Category CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2018 - 2024

Convention de gestion pour le projet ANR-17-CE040-0006-03 Projet NONSTOPS ANR/Agence nationale de la recherche / 2018 - 2022

Unité mixte internationale Centre de recherches Mathématiques; Soutenir la mobilité dans le cadre de l'entente entre le FRQNT et le CNRS FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2018 - 2022

Simons CRM Scholars Program Simons Foundation / 2017 - 2022

Simons CRM Scholars Program Simons Foundation / 2017 - 2021

CENTRE DE RECHERCHES MATHEMATIQUES (CRM) FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2015 - 2023

Unité Mixte internationale Centre de Recherches Mathématiques FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2015 - 2022

Lagrangian cobodism and Fuyaka categories Simons Foundation / 2015 - 2016

THE CRM : 50 YEARS OF SHAPING MATHEMATICAL SCIENCES IN CANADA CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2014 - 2023

THE CRM : 50 YEARS OF SHAPING MATHEMATICAL SCIENCES IN CANADA CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2014 - 2022

LAGRANGIAN COBORDISM AND CATEGORIFICATION IN LAGRANGIAN TOPOLOGY CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2013 - 2019

COURBES J-HOLOMORPHES ET RIGIDITE EN TOPOLOGIE SYMPLECTIQUE ET EN PHYSIQUE-MATHEMATIQUE FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2013 - 2017

CENTRE DE RECHERCHES MATHEMATIQUES (CRM) FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2008 - 2016

QUANTUM STRUCTURES AND RIGIDITY OF LAGRANGIAN SUBMANIFOLDS / 2008 - 2012

Publications choisies Tout déplier Tout replier

Lagrangian Cobordism I

P. Biran and O. Cornea, Lagrangian Cobordism I (electronic), (2012), , Journal of the American Mathematical Society

Lagrangian Topology and Enumerative Geometry

P.Biran and O.Cornea, Lagrangian Topology and Enumerative Geometry 16, 963-1052 (2012), , Geometry and Topology

Spectral sequences in Conley's theory

O. Cornea, K. A. de Rezende and M.R. da Silveira, Spectral sequences in Conley's theory 30, 1009-1054 (2010), , Ergodic Theory & Dynamical Systems

Rigidity and Uniruling for Lagrangian Manifolds

P. Biran and O. Cornea, Rigidity and Uniruling for Lagrangian Manifolds 13, 2881-2989 (2009), , Geometry and Topology

A Lagrangian Quantum Homology

P. Biran and O. Cornea, A Lagrangian Quantum Homology CRM Proceedings and Lecture Notes, 1-44 (2009), , New Perspectives and Challenges in Symplectic Field Theory,

Lagrangian Intersections and the Serre Spectral Sequence

J.F. Barraud and O. Cornea, Lagrangian Intersections and the Serre Spectral Sequence 166, 657-722 (2007), , Annals of Mathematics

Quantization of the Serre Spectral Sequence

J.F. Barraud and O. Cornea, Quantization of the Serre Spectral Sequence 5, 249-280 (2007), , Journal of Symplectic Geometry

Homotopical dynamics in Symplectic Topology

J.F. Barraud and O. Cornea, Homotopical dynamics in Symplectic Topology Springer , 109-148 (2006), , Morse theoretical Methods in Non-Linear Analysis and Symplectic Topology,

Cluster Homology: an overwiev of the construction and results

O. Cornea and F. Lalonde, Cluster Homology: an overwiev of the construction and results 12, 1-12 (2006), , ERA - AMS

New obstructions to the thickenig of CW complexes

O. Cornea, New obstructions to the thickenig of CW complexes 132, 2769-2781 (2004), , Proc. AMS

Rigidity and Glueing for Morse and Novikov complexes

O. Cornea and A. Ranicki, Rigidity and Glueing for Morse and Novikov complexes 5, 343-394 (2003), , Journal of the European Math. Soc.

Lusternik Schnirelmann Category

O. Cornea, G. Lupton, J.Oprea and D.Tanre, Lusternik Schnirelmann Category , (2003), , AMS Surveys and Monographs Series

Homotopical Dynamics II: Hopf invariants, smoothings and the Morse complex

O. Cornea, Homotopical Dynamics II: Hopf invariants, smoothings and the Morse complex 35, 549-573 (2002), , Ann. Scient. Ec. Norm. Sup.

Homotopical Dynamics IV: Hopf invariants and Hamiltonian flows

O. Cornea, Homotopical Dynamics IV: Hopf invariants and Hamiltonian flows 55, 1033-1088 (2002), , Communications on Pure and Applied Math

Homotopical Dynamics III: real singularities and Hamiltonian flows

O. Cornea, Homotopical Dynamics III: real singularities and Hamiltonian flows 109 , 183-204 (2001), , Duke Mathematical Journal

Homotopical Dynamics: Suspension and Duality

O. Cornea, Homotopical Dynamics: Suspension and Duality 20 , 379-391 (2000), , Ergodic Theory & Dynamical Systems

Cone-decompositions and degenerate critical points

Cornea, Octavian, Cone-decompositions and degenerate critical points 77, 437--461 (1998), , Proc. London Math. Soc. (3)

Rational category and cone length of Poincaré complexes

Cornea, Octavian, Félix, Yves et Lemaire, Jean-Michel, Rational category and cone length of Poincaré complexes 37, 743--748 (1998), , Topology

Lusternik-Schnirelmann-categorical sections

Cornea, Octavian, Lusternik-Schnirelmann-categorical sections 28, 689--704 (1995), , Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)

Strong LS category equals cone-length

Cornea, Octavian, Strong LS category equals cone-length 34, 377--381 (1995), , Topology

There is just one rational cone-length

Cornea, Octavian, There is just one rational cone-length 344, 835--848 (1994), , Trans. Amer. Math. Soc.

Cone-length and Lusternik-Schnirelmann category

Cornea, Octavian, Cone-length and Lusternik-Schnirelmann category 33, 95--111 (1994), , Topology

The genus and the fundamental group of high-dimensional manifolds

Cornea, Octav, The genus and the fundamental group of high-dimensional manifolds 41, 169--178 (1989), , Stud. Cerc. Mat.

Weak discontinuities and discrete approximations

Cornea, Octav, Weak discontinuities and discrete approximations 37, 12--17 (1988), , An. Univ. Bucure\c sti Mat.

Some separation properties of hypersurfaces

Cornea, Octav, Some separation properties of hypersurfaces 40, 289--296 (1988), , Stud. Cerc. Mat.

Common properties of closed functions and Darboux functions

Cornea, Octav, Common properties of closed functions and Darboux functions 39, 18--21 (1987), , Stud. Cerc. Mat.