Ce mémoire porte sur l’étude de la systole et de l’orthosystole de surfaces de Riemann. Étant donné une notion de longueur de courbes dans une surface, la systole (resp. l’orthosystole) correspond à l’infimum des longueurs de courbes fermées (resp. propres) essentielles dans la surface. On s’intéressera notamment à l’orthosystole hyperbolique et extrémale. En particulier, on calculera leur valeur explicite pour les polygones idéaux réguliers, une famille de surfaces hautement symétriques. On montrera ensuite que ces surfaces maximisent en fait ces deux orthosystoles parmi les polygones idéaux avec le même nombre de côtés, puis que le même résultat se généralise aux systoles de polygones doubles.

Ce mémoire porte sur l’étude du laplacien sur des surfaces de Riemann. En particulier, nous nous intéressons à ses valeurs propres qui représentent les notes que jouerait la surface si elle était un tambour. Les valeurs les plus étudiées sont la première valeur propre non nulle λ1 ainsi que sa multiplicité m1 (la dimension de l’espace propre). Notamment, Colin de Verdière conjecturait que m1 est toujours borné supérieurement par le nombre chromatique moins 1. Des travaux de Fortier Bourque et Petri ont montré que parmi toutes les surfaces hyperboliques de genre 3, c’est la quartique de Klein qui maximise la multiplicité et atteint la borne supérieure conjecturée par Colin de Verdière. Cette surface est la première d’une suite de surfaces hautement symétriques, les surfaces de Hurwitz. Nous montrons à l’aide de la formule des traces de Selberg que pour la prochaine surface dans la suite, la surface de Fricke–Macbeath F, nous avons m1(F) = 7. Une recherche indépendante menée par Chul-hee Lee arrive au même résultat à propos de la multiplicité. Le chapitre 1 introduit des notions géométriques comme la géométrie hyperbolique, les surfaces hyperboliques et triangulaires ainsi que le théorème de Hurwitz. Le chapitre 2 présente des concepts de base de théorie spectrale ainsi que des outils comme la formule des traces de Selberg et la théorie de la représentation. Le chapitre 3 est dédié à l’étude de la surface de Fricke–Macbeath et à la preuve de notre résultat principal à l’aide des outils des chapitres précédents. Dans le chapitre 4, nous discutons de nouvelles techniques de calcul de m1 qui ont été utilisées pour montrer l’existence de contre-exemples à la conjecture de Colin de Verdière dans des travaux conjoints avec Fortier Bourque, Gruda-Mediavilla et Petri.