Résumé : Les modèles statistiques sont de plus en plus complexes et leur dimension ne cesse de croitre. Ces modèles ne peuvent pas être traités analytiquement; les méthodes de Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC) sont donc devenues un outil de choix pour échantillonner de telles distributions cibles. Nous introduisons une version généralisée de l'algorithme « Langevin ajusté à Metropolis » (MALA) qui comporte deux paramètres d’ajustement: la taille de pas habituelle ainsi qu’un paramètre d'interpolation qui tient compte de la dimension de la distribution cible. Nous étudions l'efficacité théorique de cet échantillonneur en utilisant les concepts d'équilibre local et global de Zanella (2017) et fournissons des directives d’ajustement conviviales. Bien que le MALA traditionnel soit théoriquement optimal dans des contextes de dimension infinie, en pratique, le MALA généralisé se montre supérieur dans tous les contextes étudiés. Il offre des gains d'efficacité significatifs, que ce soit en phase transitoire ou stationnaire, sans coût de calcul supplémentaire. Les études de simulation corroborent nos résultats. En particulier, l'efficacité du MALA généralisé se compare favorablement à celle des algorithmes concurrents dans divers contextes de régression logistique bayésienne.

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La copule d'un vecteur aléatoire dont les distributions marginales sont inconnues peut être estimée de façon non paramétrique par la copule empirique, similaire à la distribution empirique. Cependant, l'analyse asymptotique de la copule empirique est compliquée considérablement par l'utilisation de pseudo-observations impliquant les distributions marginales empiriques. En particulier, la distribution asymptotique de la copule empirique évaluée à un ensemble non rectangulaire n'est pas connue. Dans ce travail, des conditions suffisantes pour que cette distribution asymptotique soit normale sont identifiées, et le résultat est étendu à un théorème de type Donsker pour le processus empirique de copule indexé par une classe infinie d’ensembles. L'analyse exploite des outils reliés aux processus empiriques et certains concepts de géométrie différentielle. Basé sur un travail en cours avec Axel Bücher, Johan Segers et Stanislav Volgushev.

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Je discuterai de deux résultats que je trouve particulièrement intéressants et élégants. L’estimation d’une matrice de covariance au début de sa carrière et l'estimation non paramétrique d'une copule aux valeurs extrêmes avant son départ à la retraite. 

Dans cet exposé, nous aborderons le problème de la sélection d'une densité prédictive et de l'efficacité mesurée par le risque fréquentiste. Avec plusieurs choix de divergence à notre disposition, dont Kullback-Leibler, alpha-divergence et L1, nous passons en revue des résultats récents procurant des améliorations par rapport à une densité-cible (par ex. plug-in, meilleure équivariante), obtenues soit par: (i) une expansion de l'échelle ou (ii) une relation avec un problème dual d'estimation ponctuelle ou de prédiction ponctuelle. Les modèles étudiés incluent: la loi normale (multivariée) avec structure de covariance connue ou inconnue, des mélanges de lois normales par rapport à l'échelle, des mélanges de lois normales par rapport à la moyenne y incluant les distributions dites ``skew-normal'', de futures statistique d'ordre avec données censurées et des modèles avec restrictions sur l'espace des paramètres.

On pense souvent que la «malédiction de la dimensionalité» est incurable, mais en fait, dans le contexte de l'intégration, on peut souvent s'en échapper grâce à des méthodes basées sur l'interpolation de lois. Il est même possible d'utiliser ces méthodes d'interpolation quand la notion de dimensionnalité n'est pas définie, c'est-à-dire dans le cadre abstrait de l'intégration de Lebesgue, ce qui a des conséquences pratiques dans l'analyse bayésienne de données. Dans cet exposé je vais d'abord donner un tour d'horizon sur les méthodes d'approximation d'intégrales basées sur les interpolations de lois. Cette introduction est accessible aux étudiants du premier cycle. Je vais aussi présenter des résultats récents qui créent une connection et comparent deux familles d'interpolation de loi, soit d'une part, les approches de type MCMC (recuit parallèle / parallel tempering, recuit simulé / simulated tempering, etc.), et de l'autre, les approches de type AIS/SMC (recuit par échantillonnage préférentiel / Annealed Importance Sampling, recuit particulaire / Sequential Monte Carlo). *Exposé en français --

While several results in the literature (e.g., Dimitrakakis et al., 2017; Zhang and Zhang, 2023) demonstrate that Bayesian inference approximated by MCMC output can achieve differential privacy with zero or limited impact on the ensuing posterior, we argue that the ensuing privacy is mostly related to a slowing-down of MCMC convergence rather than a generic gain in protecting data privacy. We then propose an alternative setting where privacy and inferential goals are brought together to achieve Bayesian efficiency. The case of insufficient statistics is processed as a specific illustration of the approach. This is joint work with Joshua Bon and Stanislas du Ché (Université Paris Dauphine), supported by the 2023-2029 ERC Synergy Grant OCEAN.

Multimodal posterior distributions arise frequently in the applications, but still pose significant numerical challenges, particularly in high-dimensional settings. Commonly use Monte Carlo methods are easily trapped in one mode, and unable to explore the entire distribution. The talk will describe a new Markov chain Monte Carlo scheme based on tempering for high-dimensional multi-modal distributions. The algorithm is computationally fast but produces biased/inexact samples, and the nature of the bias will be explained.

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