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Rousseau, Christiane

Vcard
Professeure associée et émérite et honoraire

Faculté des arts et des sciences - Département de mathématiques et de statistique

André-Aisenstadt Local 5231

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  • Membre Centre de recherches mathématiques
  • Membre CRM — Centre de recherches mathématiques

Expertise

Ma recherche porte sur les systèmes dynamiques en petite dimension, que ce soit des équations différentielles ordinaires (EDO) ou des équations aux différences.

Dans le cas des équations différenteiles ordinaires, un des volets de ma recherche concerne sur la théorie qualitative des EDO et le développement de méthodes permettant de déduire l'organisation géométrique des solutions des EDO qui est souvent résumée dans leur portrait de phase. Je m'intéresse particulièrement aux systèmes dépendant de paramètres et à l'analyse de leurs bifurcations, soit les valeurs des paramètres où se produisent des changements qualitatifs dans le portrait de phase. Je considère aussi bien des applications théoriques au 16e problème de Hilbert que quelques applications en biologie mathématique, soit l'étude de systèmes prédateurs-proies.

La plus grande portion de ma recherche porte sur l'étude des positions d'équilibre des systèmes dynamiques analytiques dépendant de paramètres. Je m'intéresse au problème de classification des singularités de familles de systèmes dynamiques dépendant de paramètres: quand deux familles de systèmes dynamiques sont-elles les mêmes modulo un changement de coordonnées et éventuellement une reparamétrisation du temps? Il existe énormément d'obstructions à de telles équivalences dont je cherche à comprendre la signification géométrique.

Je suis aussi très impliquée dans la vulgarisation mathématique et la formation des futurs enseigants a secondaire. J'ai été l'instigatrice et la coordonnatrice de l'année internationale "Mathématques de la planète Terre 2013" (MPT2013) .

Encadrement Tout déplier Tout replier

Classification analytique des points fixes paraboliques de germes antiholomorphes et de leurs déploiements Thèses et mémoires dirigés / 2020-12
Godin, Jonathan
Abstract
On s’intéresse à la dynamique dans un voisinage d’un point fixe d’une fonction antiholomorphe d’une variable. Dans un premier temps, on cherche à décrire et à comprendre l’espace des orbites dans un voisinage d’un point fixe multiple, appelé point parabolique, et à explorer les propriétés géométriques préservées par les changements de coordonnée. En particulier, on résout le problème de classification analytique des points paraboliques. Résoudre ce problème consiste à définir un module de classification complet qui permet de déterminer si deux germes de difféomorphismes antiholomorphes sont analytiquement conjugués dans un voisinage de leur point fixe parabolique. On examine également les applications du module à différents problèmes : i) extraction d’une racine n-ième antiholomorphe, ii) existence d’une courbe analytique invariante sous la dynamique d’un germe antiholomorphe parabolique et iii) centralisateur d’un germe antiholomorphe parabolique. Dans un second temps, on étudie les déploiements génériques d’un point fixe double, soit un point parabolique de codimension 1. Les questions sont de nature similaire, à savoir comprendre l’espace des orbites et les propriétés géométriques des déploiements. Afin de classifier les déploiements génériques, on déploie le module de classification pour les points paraboliques, ce qui permet d’obtenir des conditions nécessaires et suffisantes pour déterminer lorsque deux déploiements génériques sont équivalents.

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Configurations centrales en toile d'araignée Thèses et mémoires dirigés / 2018-10
Hénot, Olivier
Abstract
Ce mémoire est consacré à une classe remarquable de solutions du problème des N corps appelées configurations centrales. Ces configurations, notamment pour des corps coplanaires, sont étroitement liées aux solutions homographiques : en tout temps, la position des corps est obtenue par homothétie et/ou rotation de la position initiale. Notre objectif est d’étudier l’existence de configurations centrales en toile d’araignée données par n×ℓ masses disposées aux points d’intersection de n cercles concentriques avec ℓ demi-droite concourante, sous l’hypothèse que les ℓ masses du i ᶱ cercle sont égales à une constante positive mᵢ ; nous discutons également le cas où nous ajoutons une masse centrale m₀ au point de concours des ℓ demi-droites. Une première méthode analytique amène à l’existence de ces configurations centrales lorsque n = 2,3,4 et ℓ arbitraire pour n’importe quelles valeurs strictement positives de m₁, . . . , mₙ. Une seconde méthode analytique donne l’existence et l’unicité de telles configurations centrales lorsqu’on contraint ℓ à être égal à 2, . . . ,9 et n arbitraire pour n’importe quelles valeurs strictement positives de m₁, . . . , mₙ. De plus, nous étendons le résultat pour ℓ = 10, . . . ,18 en imposant m₁ ≥ · · · ≥ mₙ et en bornant la valeur de n dans chaque cas. En outre, pour ces deux méthodes analytiques, nous démontrons que les résultats restent vrais pour les configurations a N = n × ℓ + 1 corps, c’est-à-dire lorsqu’on ajoute une masse strictement positive au centre de masse. Enfin, nous donnons un algorithme permettant de prouver rigoureusement l’existence et l’unicité locale d’une telle configuration centrale avec un choix arbitraire de n, ℓ et m₁, . . . , mₙ. L’algorithme est applique à tous les n ≤ 100 et toutes les valeurs paires ℓ ≤ 200 lorsque m₁ = . . . = mₙ = 1/ℓ. Ceci est suffisant pour montrer l’existence des configurations centrales en toile d’araignée pour tout n ≤ 100, ℓ ≤ 200 pair et telles que m₁ = . . . = mₙ pour n’importe quelle valeur strictement positive.

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Étude des conditions d'extinction d'un système prédateur-proie généralisé avec récolte contrôlée Thèses et mémoires dirigés / 2016-09
Courtois, Julien
Abstract
Dans ce mémoire, nous étudions un système prédateur-proie de Gause généralisé avec une récolte de proie contrôlée et une fonction de réponse de Holling de type III généralisée. Nous introduisons une fonction de récolte contrôlée sur les proies tenant compte du nombre de proies et dépendant d'un seuil de récolte. Ceci permet de rendre le système réaliste, d'optimiser la récolte, et de prévenir la possibilité d'extinction des espèces que le système avec récolte constante pouvait avoir pour toutes valeurs de paramètres. Ce type de fonction de récolte implique a priori la manipulation d'un système discontinu: nous étudions donc des techniques de lissage de ces discontinuités par régularisation. Nous faisons d'abord un retour sur les systèmes sans et avec récolte de proie constante en traçant les diagrammes de bifurcations exacts et les portraits de phase de ces systèmes. Ensuite, nous étudions le système discontinu et les méthodes de régularisation afin de choisir la plus optimale. Finalement, nous assemblons le tout avec l'étude du système avec récolte de proie régularisé, en passant par l'étude complète du système avec approvisionnement de proie, et donnons les différents effets sur les portraits de phase selon les conditions initiales.

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Caractère intrinsèque des matrices de Stokes Thèses et mémoires dirigés / 2015-08
Gagnon, Jean-François
Abstract
Il est connu qu’une équation différentielle linéaire, x^(k+1)Y' = A(x)Y, au voisinage d’un point singulier irrégulier non-résonant est uniquement déterminée (à isomorphisme analytique près) par : (1) sa forme normale formelle, (2) sa collection de matrices de Stokes. La définition des matrices de Stokes fait appel à un ordre sur les parties réelles des valeurs propres du système, ordre qui peut être perturbé par une rotation en x. Dans ce mémoire, nous avons établi le caractère intrinsèque de cette relation : nous avons donc établi comment la nouvelle collection de matrices de Stokes obtenue après une rotation en x qui change l’ordre des parties réelles des valeurs propres dépend de la collection initiale. Pour ce faire, nous donnons un chapitre de préliminaires généraux sur la forme normale des équations différentielles ordinaires puis un chapitre sur le phénomène de Stokes pour les équations différentielles linéaires. Le troisième chapitre contient nos résultats.

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Unfolded singularities of analytic differential equations Thèses et mémoires dirigés / 2014-06
Klimes, Martin
Abstract
La thèse est composée d’un chapitre de préliminaires et de deux articles sur le sujet du déploiement de singularités d’équations différentielles ordinaires analytiques dans le plan complexe. L’article Analytic classification of families of linear differential systems unfolding a resonant irregular singularity traite le problème de l’équivalence analytique de familles paramétriques de systèmes linéaires en dimension 2 qui déploient une singularité résonante générique de rang de Poincaré 1 dont la matrice principale est composée d’un seul bloc de Jordan. La question: quand deux telles familles sontelles équivalentes au moyen d’un changement analytique de coordonnées au voisinage d’une singularité? est complètement résolue et l’espace des modules des classes d’équivalence analytiques est décrit en termes d’un ensemble d’invariants formels et d’un invariant analytique, obtenu à partir de la trace de la monodromie. Des déploiements universels sont donnés pour toutes ces singularités. Dans l’article Confluence of singularities of non-linear differential equations via Borel–Laplace transformations on cherche des solutions bornées de systèmes paramétriques des équations non-linéaires de la variété centre de dimension 1 d’une singularité col-noeud déployée dans une famille de champs vectoriels complexes. En général, un système d’ÉDO analytiques avec une singularité double possède une unique solution formelle divergente au voisinage de la singularité, à laquelle on peut associer des vraies solutions sur certains secteurs dans le plan complexe en utilisant les transformations de Borel–Laplace. L’article montre comment généraliser cette méthode et déployer les solutions sectorielles. On construit des solutions de systèmes paramétriques, avec deux singularités régulières déployant une singularité irrégulière double, qui sont bornées sur des domaines «spirals» attachés aux deux points singuliers, et qui, à la limite, convergent vers une paire de solutions sectorielles couvrant un voisinage de la singularité confluente. La méthode apporte une description unifiée pour toutes les valeurs du paramètre.

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Problème centre-foyer et application Thèses et mémoires dirigés / 2011-04
Laurin, Sophie
Abstract
Dans ce mémoire, nous étudions le problème centre-foyer sur un système polynomial. Nous développons ainsi deux mécanismes permettant de conclure qu’un point singulier monodromique dans ce système non-linéaire polynomial est un centre. Le premier mécanisme est la méthode de Darboux. Cette méthode utilise des courbes algébriques invariantes dans la construction d’une intégrale première. La deuxième méthode analyse la réversibilité algébrique ou analytique du système. Un système possédant une singularité monodromique et étant algébriquement ou analytiquement réversible à ce point sera nécessairement un centre. Comme application, dans le dernier chapitre, nous considérons le modèle de Gauss généralisé avec récolte de proies.

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Characterization of the unfolding of a weak focus and modulus of analytic classification Thèses et mémoires dirigés / 2010-06
Arriagada Silva, Waldo G.
Abstract
La thèse présente une description géométrique d’un germe de famille générique déployant un champ de vecteurs réel analytique avec un foyer faible à l’origine et son complexifié : le feuilletage holomorphe singulier associé. On montre que deux germes de telles familles sont orbitalement analytiquement équivalents si et seulement si les germes de familles de difféomorphismes déployant la complexification de leurs fonctions de retour de Poincaré sont conjuguées par une conjugaison analytique réelle. Le “caractère réel” de la famille correspond à sa Z2-équivariance dans R^4, et cela s’exprime comme l’invariance du plan réel sous le flot du système laquelle, à son tour, entraîne que l’expansion asymptotique de la fonction de Poincaré est réelle quand le paramètre est réel. Le pullback du plan réel après éclatement par la projection monoidal standard intersecte le feuilletage en une bande de Möbius réelle. La technique d’éclatement des singularités permet aussi de donner une réponse à la question de la “réalisation” d’un germe de famille déployant un germe de difféomorphisme avec un point fixe de multiplicateur égal à −1 et de codimension un comme application de semi-monodromie d’une famille générique déployant un foyer faible d’ordre un. Afin d’étudier l’espace des orbites de l’application de Poincaré, nous utilisons le point de vue de Glutsyuk, puisque la dynamique est linéarisable auprès des points singuliers : pour les valeurs réels du paramètre, notre démarche, classique, utilise une méthode géométrique, soit un changement de coordonée (coordonée “déroulante”) dans lequel la dynamique devient beaucoup plus simple. Mais le prix à payer est que la géométrie locale du plan complexe ambiante devient une surface de Riemann, sur laquelle deux notions de translation sont définies. Après avoir pris le quotient par le relèvement de la dynamique nous obtenons l’espace des orbites, ce qui s’avère être l’union de trois tores complexes plus les points singuliers (l’espace résultant est non-Hausdorff). Les translations, le caractère réel de l’application de Poincaré et le fait que cette application est un carré relient les différentes composantes du “module de Glutsyuk”. Cette propriété implique donc le fait qu’une seule composante de l’invariant Glutsyuk est indépendante.

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Classification analytique de systèmes différentiels linéaires déployant une singularité irrégulière de rang de Poincaré 1 Thèses et mémoires dirigés / 2010-04
Lambert, Caroline
Abstract
Cette thèse traite de la classification analytique du déploiement de systèmes différentiels linéaires ayant une singularité irrégulière. Elle est composée de deux articles sur le sujet: le premier présente des résultats obtenus lors de l'étude de la confluence de l'équation hypergéométrique et peut être considéré comme un cas particulier du second; le deuxième contient les théorèmes et résultats principaux. Dans les deux articles, nous considérons la confluence de deux points singuliers réguliers en un point singulier irrégulier et nous étudions les conséquences de la divergence des solutions au point singulier irrégulier sur le comportement des solutions du système déployé. Pour ce faire, nous recouvrons un voisinage de l'origine (de manière ramifiée) dans l'espace du paramètre de déploiement $\epsilon$. La monodromie d'une base de solutions bien choisie est directement reliée aux matrices de Stokes déployées. Ces dernières donnent une interprétation géométrique aux matrices de Stokes, incluant le lien (existant au moins pour les cas génériques) entre la divergence des solutions à $\epsilon=0$ et la présence de solutions logarithmiques autour des points singuliers réguliers lors de la résonance. La monodromie d'intégrales premières de systèmes de Riccati correspondants est aussi interprétée en fonction des éléments des matrices de Stokes déployées. De plus, dans le second article, nous donnons le système complet d'invariants analytiques pour le déploiement de systèmes différentiels linéaires $x^2y'=A(x)y$ ayant une singularité irrégulière de rang de Poincaré $1$ à l'origine au-dessus d'un voisinage fixé $\mathbb{D}_r$ dans la variable $x$. Ce système est constitué d'une partie formelle, donnée par des polynômes, et d'une partie analytique, donnée par une classe d'équivalence de matrices de Stokes déployées. Pour chaque valeur du paramètre $\epsilon$ dans un secteur pointé à l'origine d'ouverture plus grande que $2\pi$, nous recouvrons l'espace de la variable, $\mathbb{D}_r$, avec deux secteurs et, au-dessus de chacun, nous choisissons une base de solutions du système déployé. Cette base sert à définir les matrices de Stokes déployées. Finalement, nous prouvons un théorème de réalisation des invariants qui satisfont une condition nécessaire et suffisante, identifiant ainsi l'ensemble des modules.

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Étude d'un modèle de Gause généralisé avec récolte de proies et fonction de Holling type III généralisée Thèses et mémoires dirigés / 2008
Etoua, Remy Magloire Dieudonné
Abstract
Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

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Étude d'un système prédateur-proie avec fonction de réponse Holling de type III généralisée Thèses et mémoires dirigés / 2006
Lamontagne, Yann
Abstract
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

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Étude du diagramme de bifurcation d'un système prédateur-proie Thèses et mémoires dirigés / 2003
Coutu, Caroline
Abstract
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

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Cyclicité finie des boucles homoclines dans R3 non dégénérées avec valeurs propres principales réelles en résonance 1:1 Thèses et mémoires dirigés / 1999
Guimond, Louis-Sébastien
Abstract
Thèse diffusée initialement dans le cadre d'un projet pilote des Presses de l'Université de Montréal/Centre d'édition numérique UdeM (1997-2008) avec l'autorisation de l'auteur.

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Projets de recherche Tout déplier Tout replier

Centre de recherches mathématiques (CRM) FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2022 - 2029

Singularities of dynamical systems and their unfoldings CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2016 - 2024

Singularities of dynamical systems and their unfoldings CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2016 - 2023

CENTRE DE RECHERCHES MATHEMATIQUES (CRM) FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2015 - 2023

PROJETS SPECIAUX 13-PS-178863 (HORS RECHERCHE) PARTICIPATION FINANCIERE DU FRQNT A L'IMPRESSION ET A LA DISTRIBUTION DE LA REVUE ACCROMATH EN AFRIQUE FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2013 - 2014

NORMAL FORMS AND BIFURCATIONS OF VECTOR FIELDS / 2010 - 2014

CENTRE DE RECHERCHES MATHEMATIQUES (CRM) FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2008 - 2016

UPGRADE OF CRM RESEARCH COMPUTER NETWORK / 2008 - 2008

NORMAL FORMS AND BIFURCATIONS OF VECTOR FIELDS CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 1994 - 2017

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Christopher, Colin et Rousseau, Christiane, The moduli space of germs of generic families of analytic diffeomorphisms unfolding a parabolic fixed point Christopher, Colin and Rousseau, Christiane, 2494--2558 (2014), , Int. Math. Res. Not. IMRN

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Christopher, Colin et Rousseau, Christiane, The moduli space of germs of generic families and analytic diffeomorphisms unfolding a parabolic fixed point 345, 695--698 (2007), , C. R. Math. Acad. Sci. Paris

Modulus of orbital analytic classification for a family unfolding a saddle-node

Rousseau, Christiane, Modulus of orbital analytic classification for a family unfolding a saddle-node 5, 245--268 (2005), , Mosc. Math. J.

Normalizable, integrable and linearizable saddle points in the Lotka-Volterra system

Christopher, Colin et Rousseau, Christiane, Normalizable, integrable and linearizable saddle points in the Lotka-Volterra system 5, 11--61 (2004), , Qual. Theory Dyn. Syst.

Modulus of analytic classification for unfoldings of generic parabolic diffeomorphisms

Marde\v si\'c, P., Roussarie, R. et Rousseau, C., Modulus of analytic classification for unfoldings of generic parabolic diffeomorphisms 4, 455--502, 535 (2004), , Mosc. Math. J.

Normalizability, synchronicity, and relative exactness for vector fields in $\Bbb C^2$

Christopher, C., Marde\v si\'c, P. et Rousseau, C., Normalizability, synchronicity, and relative exactness for vector fields in $\Bbb C^2$ 10, 501--525 (2004), , J. Dynam. Control Systems

PP-graphics with a nilpotent elliptic singularity in quadratic systems and Hilbert's 16th problem

Rousseau, Christiane et Zhu, Huaiping, PP-graphics with a nilpotent elliptic singularity in quadratic systems and Hilbert's 16th problem 196, 169--208 (2004), , J. Differential Equations

Normal forms, bifurcations and finiteness problems in differential equations

ROUSSEAU Christiane - ILYASHENKO Yulij, Normal forms, bifurcations and finiteness problems in differential equations , (2004), , Kluwer editor

Normalizable, integrable, and linearizable saddle points for complex quadratic systems in $\Bbb C^2$

Christopher, C., Marde\v si\'c, P. et Rousseau, C., Normalizable, integrable, and linearizable saddle points for complex quadratic systems in $\Bbb C^2$ 9, 311--363 (2003), , J. Dynam. Control Systems

Finite cyclicity of graphics with a nilpotent singularity of saddle or elliptic type

ROUSSEAU C. & ZHU H., Finite cyclicity of graphics with a nilpotent singularity of saddle or elliptic type 178, 325-436 (2002), , J. Differential Equations.

Finite cyclicity of elementary graphics surrounding a focus or center in quadratic systems

Dumortier, F., Guzmàn, A. et Rousseau, C., Finite cyclicity of elementary graphics surrounding a focus or center in quadratic systems 3, 123--154 (2002), , Qual. Theory Dyn. Syst.

Normal forms near a saddle-node and applications to finite cyclicity of graphics

Dumortier, F., Ilyashenko, Y. et Rousseau, C., Normal forms near a saddle-node and applications to finite cyclicity of graphics 22, 783--818 (2002), , Ergodic Theory Dynam. Systems

Normal forms, bifurcations and finiteness problems in differential equations?

ROUSSEAU Christiane , Normal forms, bifurcations and finiteness problems in differential equations? , 40 (2002), , Kluwer editor

Nondegenerate linearizable centres of complex planar quadratic and symmetric cubic systems in $\Bbb C^2$

Christopher, C. et Rousseau, C., Nondegenerate linearizable centres of complex planar quadratic and symmetric cubic systems in $\Bbb C^2$ 45, 95--123 (2001), , Publ. Mat.

Finite cyclicity of finite codimension nondegenerate homoclinic loops with real eigenvalues in $\Bbb R^3$

Guimond, Louis-Sébastien et Rousseau, Christiane, Finite cyclicity of finite codimension nondegenerate homoclinic loops with real eigenvalues in $\Bbb R^3$ 2, 151--204 (2001), , Qual. Theory Dyn. Syst.

Genericity conditions for finite cyclicity of elementary graphics

Guzmàn, Ana et Rousseau, Christiane, Genericity conditions for finite cyclicity of elementary graphics 155, 44--72 (1999), , J. Differential Equations

Global study of a family of cubic Liénard equations

Khibnik, Alexander I., Krauskopf, Bernd et Rousseau, Christiane, Global study of a family of cubic Liénard equations 11, 1505--1519 (1998), , Nonlinearity

Cyclicity of graphics with semi-hyperbolic points inside quadratic systems

Rousseau, C., \'Swirszcz, G. et \.Zolpolhk adek, H., Cyclicity of graphics with semi-hyperbolic points inside quadratic systems 4, 149--189 (1998), , J. Dynam. Control Systems

Codimension-three unfoldings of reflectionally symmetric planar vector fields

Krauskopf, Bernd et Rousseau, Christiane, Codimension-three unfoldings of reflectionally symmetric planar vector fields 10, 1115--1150 (1997), , Nonlinearity

Local bifurcations of critical periods in the reduced Kukles system

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