Comment découvrir la description du terme général d’une suite de nombres
François Bergeron, département de mathématiques, Université du Québec à Montréal
Souvent en science (et ailleurs) interviennent des suites de nombres entiers.
On a par exemple la célèbre suite des nombres de Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,24, …, f(n), ...
pour laquelle on a la recette toute simple: f(n)=f(n-1)+f(n-2). Généralement, ces suites
apparaissent en comptant certains objets. Pour les nombres de Fibonacci, ce peut-être
le nombre de façons de tapisser un rectangle nx1 par des carrés 1x1, et des rectangles 2x1.
Nous allons développer des techniques qui permettent de « deviner » mathématiquement
le terme général d’une suite, seulement à partir de la connaissance de ses premiers termes.
Autrement dit, on cherchera à déterminer la « recette » qui permet de décrire cette suite.
Nous verrons comment l’ordinateur permet de faciliter tout cela.
Dans un premier temps, pour découvrir comment on peut deviner la formule d’une suite, nous allons procéder par expérimentation. Une première approche consiste à découvrir si les nombres considérés s’obtiennent facilement comme sommes de nombres plus simples. Nous allons ensuite chercher à systématiser ce genre d’approche.
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Maths en perspective : Anamorphoses
Alina Stancu, département de mathématiques et de statistique, Université Concordia
Les anamorphoses les plus courantes sont les marquages de circulation sur les chaussées, dont le vélo étiré est un exemple classique. En art, l’anamorphose permet d’utiliser certains outils géométriques pour déformer la réalité, le spectateur étant obligé de faire un effort pour retrouver un sens à l’image qu’il a sous les yeux. Nous parlerons des transformations géométriques qui produisent les anamorphoses et nous expérimenterons avec des images cachées en créant notre propre image surprise à l’aide d’un miroir courbé.
Le cube de Rubik contre-attaque
Matilde Lalin, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal
Venez-vous amuser avec le cube de Rubik et sa revanche (le 4x4x4). Nous allons apprendre une méthode de résolution pour la revanche de Rubik, parler du nombre de Dieu, et trouver le nombre total de positions du cube! Finalement nous allons parler des cubes de Rubik généraux de nxnxn.
Optimisation, jeux, paradoxes
Patrice Marcotte, département d'informatique et de recherche opérationnelle, Université de Montréal
Dans cette activité, nous allons explorer des situations où interviennent des acteurs dont les comportements peuvent être conflictuels. Le cadre d'analyse sera celui de la théorie des jeux et des concepts qui lui sont associés dont celui, fondamental, d'équilibre. Vous serez amenés à découvrir par vous-mêmes quelques paradoxes et les moyens de les contourner. La présentation fera la part belle à des applications dans les domaines du transport.
Systèmes Dynamiques et Chaos
Guillaume Lajoie et Aude Forcione-Lambert, Université de Montréal
Dans cette activité, nous explorerons le monde des systèmes dynamiques et de la théorie du chaos. Dans un atelier comportant une composante numérique, nous développerons des simulations par ordinateurs pour observer les fascinantes conséquences que de simples règles d'évolution dynamique peuvent avoir, tel des attracteurs chaotiques et des structures fractales. Nous discuterons aussi des conséquences de ces phénomènes sur plusieurs systèmes naturels qui nous entourent.
Mathematicians in Black
Félicitations pour votre admission au dernier tour des entrevues de sélection des Mathematicians in Black. À la suite de cette activité, notre organisme top secret sélectionnera une et une seule équipe qui se verra offrir un poste permanent pour traiter des enjeux mathématiques les plus importants auxquels le pays n’ait jamais fait face.
Les Mathematicians in Black sont curieux et vifs d’esprit, certes, mais leurs prouesses intellectuelles sont surtout le fruit de leurs efforts. Devant des questions titanesques, les Mathematicians in Black ne se découragent pas. Ils travaillent en équipe, impliquent leurs collègues dans le processus de résolution de problème et ils sont toujours positifs. Toutes ces qualités seront évaluées lors des entrevues.
L’équipe de sélection (de l'université de Montréal)
Charles Alexandre Bédard
Rosalie Bentz-Moffet
Sophie Berthelette
Alexis Langlois-Rémillard
Jean-Michel Lemay
Alexis Leroux-Lapierre
Votre cellulaire au service des villes intelligentes : immersion dans le monde de la science des données
Aurélie Labbe, HEC Montréal
Profitant de l’émergence de nouvelles technologies ainsi que de la croissance du mouvement d’internet des objets, les villes recherchent des solutions innovatrices visant l’amélioration de la qualité de vie des citoyens. En particulier, les données issues de systèmes intelligents peuvent nous aider à comprendre les modèles temporels et spatiaux de mobilité urbaine, générant des solutions aux problèmes de sécurité, de congestion ou d’engorgement à certains points critiques du réseau routier. Dans cet atelier, nous allons travailler à partir des données collectées par la Ville de Québec en 2015 dans le cadre d’un projet pilote sur la mobilité intelligente. Ce projet a pour but d’évaluer si les traces GPS collectées à l’aide d’une application cellulaire (application MonTrajet) ont un pouvoir prédictif de la sécurité du réseau routier. Ces données GPS, collectées sur 55,000 trajets, permettent de mesurer la vitesse et géolocalisation (coordonnées x, y et z) chaque seconde pendant un trajet routier. En couplant ces données avec les taux d’accidents sur le réseau routier, nous allons voir comment la science des données et la statistique peuvent nous permettre d’inférer le nombre d’accidents sur des points spécifiques du réseau routier.
Optimisation de la production dans une mine à ciel ouvert
François Soumis, professeur, Frédéric Quesnel, étudiant au doctorat, département de mathématiques et génie industriel, École Polytechnique
L’objectif de l’activité est de que les systèmes d’optimisation pour le traitement de problèmes industriels sont basés sur des mathématiques. Les problèmes mathématiques posés par les applications sont complexes et donnent lieu à de la recherche intéressante. Ces recherches permettent le développement systèmes de décision très performants.
Le système de gestion des pelles et des camions dans une mine à ciel ouvert comprend des méthodes d’estimation des temps de trajet et de chargement des camions. Il comprend des modèles mathématiques pour la planification à moyen et court terme et pour les décisions en temps réel.
On travaillera d’abord sur la prévision des temps de parcours à partir des données observées. Il faut une estimation avec le moins de variance possible et qui s’adapte rapidement aux changements. Les campeurs utiliseront un simulateur de mouvements de camions pour évaluer des formules d’estimation qu’ils proposeront. On fera les calculs mathématiques pour estimer les variances des différentes formules.
On verra ensuite les liens entre les équations linéaires et la programmation mathématique. Les campeurs feront des exercices avec un logiciel de programmation linéaire. Je présenterai ensuite l’application dans le domaine minier.
Finalement on travaillera sur l’affectation des camions en temps réel avec un simulateur. Les campeurs expérimenteront leurs règles pour affecter un camion à la fois. Ils travailleront ensuite à inventer des règles considérant les 2-3 prochains camions. Finalement je leur présenterai le modèle d’affectation mathématique qui peut affecter optimalement 15 camions à la fois.
La finance mathématique : de l’arbre binomial à la formule de Black-Scholes
Maciej Augustyniak, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal
La formule la plus populaire dans le monde de la finance mathématique est la formule de Black-Scholes. Cette formule est le résultat de travaux réalisés par Fischer Black, Robert Merton et Myron Scholes au début des années 1970. L’importance de ces travaux a d’ailleurs été reconnue avec un prix Nobel en 1997. La formule de Black-Scholes permet de trouver le prix d’un instrument financier, appelé option, sous différentes hypothèses mathématiques. Bien que la formule puisse sembler compliquée à première vue, sa dérivation est en fait très intuitive lorsqu’on fait allusion à un arbre binomial. Nous verrons donc les principes entourant la dérivation de la formule de Black-Scholes et nous expliquerons comment obtenir cette formule à partir d’un arbre binomial.
Les mathématiques de l'intelligence artificielle
Alain Tapp, département d'informatique et de recherche opérationnelle, Université de Montréal
On parle depuis longtemps d'intelligence artificielle et la présence de ce thème au cinéma et dans la littérature ne passe jamais de mode. Depuis quelques années, à cause de progrès scientifiques importants, le domaine reçoit aussi une grande attention médiatique. Une approche peu connue du public, l’apprentissage automatique, est en fait devenue le moteur d’une véritable révolution: l'apprentissage profond. Le domaine est en fait basé sur des concepts mathématiques très puissants, mais aussi très accessibles. Il est donc possible en une demi-journée d'apprivoiser le domaine de l’intelligence artificielle mais aussi d’aborder la science sur laquelle le domaine se repose.
Les mathématiques de l'Origami
Christiane Rousseau, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal
Tout le monde connaît l’Origami, cet art japonais de pliage du papier, plusieurs fois séculaire. Mais quel est le lien avec les mathématiques ? Les mathématiciens, avides d’axiomatisation ont introduit des axiomes et se sont intéressés aux constructions géométriques réalisables avec ces axiomes. Ainsi il est possible de montrer qu'on peut effectuer à l'Origami la trisection de l’angle et la duplication du cube, alors que ce n'est pas possible avec une règle et un compas. Les pliages sont importants dans de nombreuses applications technologiques : plier un coussin gonflable, etc., si bien que la science du pliage est un domaine de recherche actif en informatique théorique. Comme l'activité ne dure qu'une heure, on se concentrera sur quelques développements très modernes dans le sujet.
