Comment découvrir la description du terme général d’une suite de nombres (1 demi-journée)

François Bergeron, département de mathématiques et de statistique, Université du Québec à Montréal

Souvent en science (et ailleurs) interviennent des suites de nombres entiers.
On a par exemple la célèbre suite des nombres de Fibonacci

        1,1,2,3,5,8,13,24, …, f(n), ...

pour laquelle on a la recette toute simple: f(n)=f(n-1)+f(n-2). Généralement, ces suites
apparaissent en comptant certains objets. Pour les nombres de Fibonacci, ce peut-être
le nombre de façons de tapisser un rectangle nx1 par des carrés 1x1, et des rectangles 2x1.
Nous allons développer des techniques qui permettent de « deviner » mathématiquement
le terme général d’une suite, seulement à partir de la connaissance de ses premiers termes.
Autrement dit, on cherchera à déterminer la « recette » qui permet de décrire cette suite.
Nous verrons comment l’ordinateur permet de faciliter tout cela.

Dans un premier temps, pour découvrir comment on peut deviner la formule d’une suite, nous allons procéder par expérimentation. Une première approche consiste à découvrir si les nombres considérés s’obtiennent facilement comme sommes de nombres plus simples. Nous allons ensuite chercher à systématiser ce genre d’approche.

 
Challenger et la statistique : tout un défi! (1 demi-journée)

David Haziza et Christian Léger, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal

Le 27 janvier 1986, la navette spatiale Challenger a pris son envol suite à la décision prise de permettre le décollage malgré le temps froid à Cape Canaveral, Floride. En effet, la veille les ingénieurs avaient dû évaluer les risques de faire décoller une navette spatiale alors que la température prévue pour le décollage était de 31⁰ F, soit tout juste sous le point de congélation. Les ingénieurs ont regardé les données d’incidents lors de décollages précédents afin de voir s’il y avait un lien avec la température.
Nous allons nous inspirer de ce jeu de données pour explorer le monde fascinant de la statistique.  Nous aborderons la notion de probabilité et son interprétation fréquentiste ainsi que celle de paramètre et son estimation. Nous verrons ce qui arrive à la distribution de certains estimateurs lorsque la taille de l’échantillon augmente. Nous verrons certains modèles simples et certains plus complexes qui permettent d’expliquer une variable, comme le nombre d’incidents, par une ou plusieurs autres comme la température. Nous verrons comment la distribution d’un estimateur peut nous aider à décider si la relation liant deux variables pourrait être due au hasard. Nous comprendrons l’importance de considérer toutes les données lorsqu’on fait une analyse statistique. Et nous reviendrons au jeu de données de Challenger pour mieux comprendre le risque d’envoyer une navette spatiale lorsque la température prévue est de 31⁰ F.
Cet atelier sera interactif et aura lieu dans la salle informatique. En plus d’explications magistrales, vous explorerez certaines notions théoriques à partir de vos connaissances en calcul différentiel et intégral. Mais surtout, vous utiliserez le logiciel libre R tant pour faire des simulations que pour analyser vous-même des données. La statistique est un domaine passionnant où le marché de l’emploi est excellent pour quiconque aime les mathématiques et veut les utiliser pour mieux comprendre des phénomènes à partir de données provenant d’horizons aussi divers que, par exemple, la médecine, la santé publique, la finance, le commerce, la production industrielle, etc.

Redécouvrir la "topologie" oubliée d’un réseau de télécommunications (1 demi-journée)

Brigitte Jaumard, Computer Science and Sofware engineering, Concordia University

Les réseaux de télécommunications comprennent de nombreux éléments de réseaux, chacun ayant plusieurs ports pour permettre le transport de données entre les différents éléments d’un réseau. On définit ainsi un circuit comme une connexion entre 2 ports.
Au fil des années, les réseaux subissent des transformations, par exemple, ajout de ports, ou encore ajout d’éléments de réseaux suite à des pannes, ou à l’accroissement du trafic. De plus, les réseaux subissent des changements de propriétaires, ou d’équipes de maintenance, ce qui entraine une perte de la connaissance au niveau de la « topologie » du réseau.

Le problème de redécouverte de la topologie d’un réseau s’identifie à un travail de détective. Étant donné un ensemble d’extrémités de circuits dans le réseau, tel que chaque extrémité est munie d’une «  signature », comment identifier les deux extrémités de chacun des circuits, sachant que les signatures des extrémités ne sont pas des identifiants uniques du circuit auxquelles les extrémités sont associées et que les signatures peuvent contenir des erreurs.  Compte tenu du nombre très élevé d’extrémités, une méthode élémentaire consistant à énumérer toutes les paires possibles n’est pas envisageable: c’est pourquoi il faut plutôt jouer au détective et apprendre à exploiter chaque indice ou empreinte.

Pour pouvoir interpréter ces empreintes, il faut commenter par comprendre comment elles sont créées. Nous introduirons un outil, les fonctions de hachage, qui servent à
rendre plus rapide l'identification des données : calculer l'empreinte d'une donnée ne doit coûter qu'un temps négligeable.

Un deuxième outil au service du détective que nous sommes devenus est celui des couplage dans les graphes, soit l’identification d'un ensemble d'arêtes de ce graphe qui n'ont pas de sommets en commun. Là encore, le problème est de très grande taille et il est nécessaire de développer des algorithmes astucieux qui permettent de trouver des couplages de cardinalité maximum.

Munis de ces outils, nous partirons à la redécouverte de la topologie de quelques réseaux.

Est-il vraiment nécessaire de bien additionner?  (1 demi-journée)

Marc Laforest, département de mathématiques et génie industriel, École Polytechnique

Ma sœur et mon beau-frère opèrent une cantine mobile et ils doivent souvent approximer la facture de leurs clients afin de servir le plus grand nombre de clients. Plutôt que d’utiliser la valeur exacte des biens, mon beau-frère approxime le coût de chaque item, et il approxime la somme d’un grand nombre d’items, sans se soucier de l’erreur générée. Ma sœur n’est pas à l'aise avec ces approximations. Peut-on expliquer à ma sœur qu’en moyenne, de telles approximations seront suffisamment précises? 
Nous construirons une théorie générale de l’approximation afin de comparer les calculs exacts aux calculs approximatifs. Les deux approches seront comparées de manière probabiliste sur un échantillon de commandes de clients virtuels et ces commandes seront construites par une chaîne de Markov.
L’organisateur vous lance donc un défi ouvert : construire un modèle théorique pour les opérations approximatives. Une partie de l’atelier présentera des notions avancées de mathématiques, comme celle d’un corps et d’une chaîne de Markov, mais la majorité du temps sera consacrée au travail en équipe et sur ordinateur. Si vos constructions sont bonnes et si nous démontrons rigoureusement qu’en moyenne, notre méthode d’approximation prédit un prix plus grand ou égal au prix exact, alors nous résumerons nos travaux dans un article au Bulletin AMQ.    

  
Le monde irréel des nombres p-adiques (1 demi-journée)

Matilde Lalin, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal

Sous forme d'atelier lors duquel nous nous poserons des questions et discuterons de problèmes drôles, nous allons découvrir et explorer l'univers fascinant des nombres p-adiques. Nous partirons de questions toutes simples.  Comment est-ce qu'on construit les nombres réels? Que se passe-t-il si on reformule l'idée de distance? Est-ce que on peut donner une valeur autre que l'infini à la somme 1+2+2^2+....? Etc. Ces questions nous amèneront à explorer un monde de nombres qui se trouve  en parallèle des nombres réels que nous connaissons bien.

Voir les sons, entendre les formes (1 demi-journée)

Jean Lagacé, Iosif Polterovich, Guillaume Roy-Fortin, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal

Nous avons deux cordes de guitare, une courte et une longue. Votre défi est le suivant: les yeux bandés, on vous fait entendre le son produit par les deux cordes et vous devez associer un son à une corde. Défi relevé ? Votre intuition ne vous trompe pas: c’est bien la petite corde qui produit un son aigu et la longue qui est associée au son grave. Vous avez donc deviné la longueur d’une corde seulement à partir du son qu’elle produit ! Peut-on généraliser cette idée avec des objets plus compliqués, des tambours, par exemple ? Est-ce qu’un petit tambour produit des sons aigüs et un large, des graves ? Peut-on découvrir certaines informations sur la géométrie d’un tambour seulement qu’en l’entendant ? Nous verrons ensemble que c’est effectivement possible: nous pouvons, d’une certaine façon « entendre les formes ».

On ne s’arrêtera pas là! Si on peut entendre les formes, peut-on également « voir les sons » ? Nous répondrons à cette question en recréant les expériences de Chladni: des plaques de différentes formes et saupoudrées de sable seront soumises à des vibrations. Nous découvrirons que, sous l’effet des vibrations de la plaque, le sable se comporte de façon surprenante et s’accumule parfois de manière précise pour créer un joli motif sur la plaque. Quel est ce motif et quel secret cache-t-il ?

Nous aborderons aussi une dernière question, plus difficile: le lien entre la forme et les sons est-il unique ? Autrement dit, peut-on trouver deux tambours de formes différentes qui « vibrent » de la même façon ? Mystère ! Pour décoder ces phénomènes, nous ferons appel à la géométrie spectrale, un domaine des mathématiques bien utile pour modéliser des phénomènes physiques de nature ondulatoire.  Voir les sons et entendre les formes à travers la découverte expérimentale de la géométrie spectrale, c’est donc le rendez-vous auquel nous vous invitons !

C'est ma tournée!

Khalid Amghar, Amine Ikama et Jean-Yves Potvin, département d’informatique et de recherche opérationnelle, Université de Montréal

Les problèmes de tournées de véhicules se rencontrent dans de nombreuses applications pratiques, tels les services de courrier rapide, le transport adapté, la livraison de biens et services, etc. Il s’agit essentiellement de déterminer dans quel ordre les clients doivent être visités par les véhicules afin d’optimiser la distance totale parcourue, tout en respectant certaines contraintes, par exemple la capacité maximale des véhicules.

Dans une première partie, nous nous intéresserons à une version simplifiée des problèmes de tournées de véhicules, soit le problème du voyageur de commerce, où un seul véhicule est disponible pour visiter les clients et où aucune contrainte de capacité n’est imposée.
Nous verrons ensuite, dans une seconde partie, un certain nombre d’algorithmes de nature heuristique qui permettent de résoudre rapidement des problèmes de grande taille, sans toutefois garantir l’optimalité de la solution.

L'activité se voudra interactive avec des périodes de résolution de problèmes, question de bien appréhender toute leur complexité.

Chasse au trésor mathématique (1 journée)

Charles Alexandre Bédard, François De L'Isle, Jean-Michel Lemay, Serge-Olivier Paquette, Yvan Saint-Aubin, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal

La journée touristique du camp se transforme en chasse au trésor mathématique ! Charles, François, Jean-Michel, Serge-Olivier et Yvan se grattent la tête pour en organiser les dédales et vous trouver les énigmes mathématiques les plus intéressantes à résoudre. Des questions difficiles, mais passionnantes. Ces questions vous feront visiter des monuments (mathématiques !) de l'île de Montréal. L’équipe de la chasse au trésor vous promet qu’ils savent résoudre les questions qu’ils vous soumettront !

Les codes secrets (1 demi-journée)

Alain Tapp, département d’informatique et de recherche opérationnelle, Université de Montréal

L’histoire des codes secrets à travers les âges est absolument fascinante. Nous verrons comment les codes ont évolué à partir de la Rome antique en passant par l’Europe de la renaissance, la deuxième guerre mondiale et jusqu’à notre époque où ils sont omniprésents sur internet.  C’est une bataille remplie de rebondissement entre le faiseur de codes (cryptographe) et les briseurs de codes (cryptanalystes). Au travers de problèmes, nous jouerons aux cryptographes et aux pirates informatiques : ce n’est pas un hasard si les compagnies de cryptographie engagent souvent des cryptanalystes (aussi appelés hackers). Nous aborderons aussi les liens étroits qu’entretient ce domaine avec l’informatique et les mathématiques. La théorie des nombres, l’algèbre et la complexité sont au cœur de la cryptographie.

Les autres activités seront publiées prochainement...