Matière de l’épreuve générale de l’examen de synthèse en mathématiques et examens passés

Examens passés: 2016-01-18, 2016-05-13

Chaque étudiant devra répondre à exactement 6 questions, dont au moins 3 de la partie A.

 

Partie A :

Algèbre linéaire (2 questions) :

Espace vectoriel, indépendance linéaire, transformations linéaires, changement de base. Produit scalaire. Déterminants. Diagonalisation. Diagonalisation des matrices symétriques. Forme normale de Jordan.

Analyse réelle (2 questions) :

Topologie de Rn. Ensembles ouverts, compacts. Suites dans les espaces métriques. Applications continues, différentiables. Jacobien. Théorème de Taylor. Extrema. Théorème des fonctions inverses et implicites.

 

Partie B :

Algèbre (1 question) :

Groupes, sous-groupes et théorème de Lagrange. Groupe quotient et théorèmes d'isomorphisme. Anneaux, idéaux, anneaux de polynômes.

Analyse complexe (1 question) :

Propriétés des fonctions holomorphes, théorème de Cauchy, séries de Laurent, calcul des résidus.

Analyse de Fourier (1 question) :

Convergence ponctuelle, convergence en moyenne. Séries de Fourier. Transformées de Fourier et Laplace.

Équations différentielles (1 question) :

Équations et systèmes du premier ordre. Existence et unicité. Dépendance continue par rapport à la condition initiale. Systèmes linéaires. Équations différentielles linéaires du second ordre.

Géométrie différentielle (1 question) :

Surfaces dans R3 : première et seconde formes fondamentales, courbures de Gauss et moyenne. Isométries et theorema egregium.

Probabilités (1 question) :

Espace de probabilité. Probabilité conditionnelle. Indépendance. Variable aléatoire. Fonction de répartition et fonction génératrice. Espérance mathématique. Loi faible des grands nombres. Théorème limite central.

Topologie (1 question) :

Espaces topologiques, fonctions continues, connexité, compacité, espaces de Hausdorff, groupe fondamental, surfaces.

 

Références:

Algèbre linéaire

[L] D. C. Lay, Algèbre linéaire, théorie, exercices et applications, traduction de la 4e édition, Pearson (2012) : [Chapitres 4 (sections 1 à 7), 5 (sections 1 à 5), 6 (sections 1 à 4), 7 (section 1)].

Et

[Str] G. Strang , Linear Algebra and its Applications, 4e Edition, Brooks Cole (2006): [Appendix B].

Analyse réelle

[Ru] W. Rudin , Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, (1976) : [Chapitres 2, 3 (première partie sur les suites dans les espaces métriques), 4 et 9].

Et

[Z] V.A. Zorich, Mathematical Analysis I, Springer, (2004) : [Chapitre 8 (section 8.4)].

Algèbre

[DF] D.S. Dummit et R.M. Foote, Abstract Algebra, John Wiley & Sons, (2004) : [Chapitres 1, 2 (sections 2.1, 2.3, 2.4), 3 (sections 3.1, 3.2, 3.3), 7 (sections 7.1, 7.3, 7.4), 9 (sections 9.1, 9.2, 9.4)].

Analyse complexe

[BC] J.W. Brown, R.V. Churchill, Complex Variables and Applications, Mc-Graw Hill, (2013) : [Chapitres 2 à 7].

Ou

[Au] M. Audin, Analyse complexe, Université de Strasbourg (2011). Disponible en accès libre à : http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/analysecomp.pdf: [Chapitres I à V].

Analyse de Fourier

[StS] E.M. Stein et R. Shakarchi, Fourier Analysis : an introduction, Princeton Lectures in Analysis, 1, Princeton University Press, (2003) : [Chapitres 2, 3, 5].

Ou

[S-A] Y. Saint-Aubin, Analyse appliquée, MAT 2466, Notes de cours, Université de Montréal (1996) : [Chapitres 1, 2, 4].

Équations différentielles

[BD] W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary differential equations and boundary value problems, 10e Edition, John Wiley & Sons, (2012) : [Chapitres 1 à 3 et 7].

Et

[AO] P. Arminjon et R. G. Owens, Calcul 2, Notes de cours, Université de Montréal : [Section 12].

Géométrie différentielle

[Do1] M.P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, (1976) : [Chaptires 2, 3 (sections 3.1 à 3.3), 4 (sections 4.2, 4.3)].

Ou

[P] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, 2e Edition, Springer, (2010) : [Chapitres 4, 6, 7, 8, 10].

Ou

[Sh] T. Shifrin, Differential geometry: a first course in curves and surfaces. Disponible en accès libre à : www.math.uga.edu/shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf : [Chapitre 2].

Probabilités

[Ro] S. R. Ros, Initiation aux probabilités, 7e Edition, PPUR presses polytechnique, (2007) : [Chapitres 2, 3, 4 (sauf section 4.8), 5 (sauf section 5.6), 6 (sections 6.1 à 6.3), 7 (sections 7.1, 7.2, 7.4, 7.7), 8 (sections 8.1 à 8.3)].

Topologie

[FT] Y. Félex et D. Tanré, Topologie Algébrique, Cours et exercices corrigés, Dunod, (2010) : [Chapitres 1, 2].

Et

[M] J.R. Munkres, Topology: A First Course, Prentice-Hall, (2000) : [Chapitres 2 à 4].

 

Matière de l’épreuve spécialisée en actuariat de l’examen de synthèse en mathématiques

Assurance-vie - ACT 2250

Fonction de survie et probabilités de décès, tables de mortalité, notation actuarielle, assurances et rentes pour un modèle à une vie, calcul des primes, réserves actuarielles, produits d'assurance offerts avec des garanties d'investissement.

Finance mathématique - ACT 2241

Produits dérivés, contrat à terme, options, swaps, gestion de risques, équation de parité, tarification avec arbres binomiaux, formule de Black-Scholes, lettres grecques, couverture

Théorie de l'arbitrage, théorème fondamentaux de l'évaluation des actifs dans le modèle binomial.

Assurance IARD - ACT 2284
Modèles de sévérité pour le montant d'une réclamation, modifications de couverture (franchise, limite, coassurance, inflation), construction et sélection de modèles, simulations; Théorie de la crédibilité (modèles de Bühlmann et de Bühlmann-Straub, crédibilité exacte et classique.

Théorie du risque - ACT 3251

Modèle collectif et individuel, loi de Poisson composé et ses approximations, modèle de Cramer-Lundberg, probabilité de ruine, approximations de la probabilité de ruine, déficit au moment de la ruine et ses propriétés, approximations de la loi du temps de ruine.

 

Références:

Assurance-vie - ACT 2250

[DHW] D.C.M. Dickson, M.R. Hardy, H.R. Waters, Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks, 2e Edition, Cambridge University Press, (2013): [Chapitres 1-7, 11, 13 (sections 13.1, 13.2), 14 (sections 14.1, 14.2), 15, 16].

Finance mathématique - ACT 2241

[McD] R.L. McDonald, Derivatives Markets, 3e Edition, Prentice-Hall, (2012): [Chapitres 1 à 13].

Assurance IARD - ACT 2284

[KPW] S.A. Klugman, H.H. Panjer, G.E. Willmot, From Data to Decisions, 4e Edition, John Wiley & Sons, (2012): [Chapitres 3 à 5, 8, 10 à 13, 15 à 20].

Théorie du risque - ACT 3251

[Di] D.C.M. Dickson, Insurance Risk and Ruin, Cambridge University Press, (2005): [Chapitres 4 à 8].

 

Matière de l’épreuve spécialisée en algèbre de l’examen de synthèse en mathématiques

Groupes:

Groupes, sous-groupes, sous-groupes dérivés et normaux, homomorphismes, quotients, théorèmes d’isomorphisme, action de groupe, produits directs, semi-directs, groupes abéliens et leur classification, groupes résolubles et nilpotents. Groupes classiques : symétriques, alternés, diédraux, etc.

Anneaux :

Anneaux, idéaux, théorèmes d’isomorphisme, théorème des restes chinois, domaine euclidien, anneau principal, domaine à factorisation unique, anneaux de polynômes.

Modules :

Modules sur un anneau, homomorphismes et quotients, sommes directes, modules libres et produit tensoriel.

Algèbre linéaire :

Espaces et sous-espaces vectoriels, transformations linéaires, bases, déterminants, algèbres tensorielles, symétriques et extérieures, formes canoniques rationnelles et de Jordan.

Corps :

Corps, extensions, corps de décomposition, fermeture algébrique, extensions cyclotomiques, groupes de Galois, corps finis, transcendance.

Théorie de la représentation des groupes finis :

Représentations, homomorphismes, théorème de Maschke, caractères et orthogonalité, théorème de Wedderburn, actions de groupe et représentations par permutations, restriction, induction et le théorème de Frobenius.

Algèbre commutative :

Conditions de chaîne ascendante et descendante, anneaux noethériens et artiniens, idéaux premiers et primaires, localisation, domaines de Dedekind, Nullstellensatz de Hilbert.

 

Références:

[At] M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, (1969).

[DF] D.S. Dummit, R.M. Foote, Abstract Algebra, John Wiley & Sons, (2004): [Chapitres 1 à 16, 18-19].

[H] T.W. Hungerford, Algebra, Springer, (1974): [Chapitres. 1 à 8].

[JL] G. James, M. Liebeck, Representations and Characters of Groups, 2e Edition, Cambridge University Press, (2001).

[La] S. Lang, Algebra , 3e Edition, Springer,(2002) ou :Algèbre, Dunod (2014) : [Chapitre I à 4, 9,10, 13, 14, 18, 19].

[Se] J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, 3e Edition, Hermann, (1978).

[St] B. Steinberg, Representation Theory of Finite Groups, An introductory Approach, Universitext, Springer, (2012).

 

Cours suggérés :

La matière couvre les cours de premier cycle MAT2600 Algèbre 1, MAT2610 Algèbre 2, MAT3661 Théorie de Galois, et les cours de niveau 6000 suivants : MAT6608 Algèbre commutative et MAT6609 Théorie de la représentation.

 

Matière de l’épreuve spécialisée en analyse de l’examen de synthèse en mathématiques

Théorie de la mesure :

Mesure de Lebesgue, fonctions mesurables, intégrale de Lebesgue, théorème de Fatou, théorème de Fubini, espaces Lp.

Analyse fonctionnelle :

Espaces métriques, topologiques, normés, espaces de Banach et de Hilbert, fonctionnelles linéaires, espace dual, topologie faible, théorème de Hahn-Banach, théorème de Banach-Steinhaus, théorème de l'application ouverte, théorème du graphe fermé, opérateurs auto-adjoints, opérateurs compacts, spectre d’un opérateur linéaire compact.

Équations aux dérivées partielles:

Équation des ondes (formules de d'Alembert, de Poisson et de Kirchhoff), équation de la chaleur (solution fondamentale, principe du maximum), équations de Laplace et de Poisson (solutions fondamentales, fonctions harmoniques.

 

Références suggérées:

[Br] H. Brezis, Analyse fonctionnelle. Théorie et applications, Masson, (1983) : [Chapitres 1 à 6].

[Ev] L.C. Evans, Partial differential equation,. Graduate Studies in Mathematics, 19, American Mathematical Society, (2010): [Chapitre 2].

[KF] A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Éléments de la théorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle, Éditions Mir, (1974) : [Chapitres 2 à 7].

[V] V.S. Vladimirov, Equations of Mathematical Physics, Éditions Mir, (1984): [Chapitre 3].

 

Cours suggérés :

Les cours suggérés pour cet examen sont MAT6110 Équations aux dérivées partielles, MAT6111 Théorie de la mesure etMAT6112 Analyse fonctionnelle.

 

Statistique appliquée

  • Régression, analyse multivariée, analyse de la variance, plans d’expériences.
    Chapitres 1-12 de S. Weisberg (Applied Linear Regression, 2e édition, 1985), chapitres 1-8, 12, 13 de D.C. Montgomery (Design and Analysis of Experiments, 5e édition, 2000), chapitres 1-11 de P.A. Johnson et D.W. Wichern (Applied Multivariate Statistical Analysis, 5e édition, 2002).

Statistique mathématique

  • Chapitres 1-10 de G. Casella et R.L. Berger (Statistical Inference, 2e édition, 2002), sections 1-10, 13, 14, 18-20, 22 de T.S. Ferguson (A Course in Large Sample Theory, 1996).

 

Matière de l’épreuve spécialisée en géométrie et topologie de l’examen de synthèse en mathématiques

Topologie générale :

Topologie générale : espaces topologiques, fonctions continues, connexité, compacité, axiomes de séparation, espaces normaux, théorème de Tietze, théorème de Tychonoff, espaces métriques complets, théorème de catégorie de Baire, topologie compacte-ouverte, théorème d'Arzella-Ascoli.

Topologie algébrique :

Groupe fondamental et théorie des revêtements, théorème de Van Kampen, type d’homotopie d’un espace, construction et classification des surfaces réelles orientables ou non-orientables, homologie singulière, théorème de Mayer-Vietoris, théorème de point fixe de Brouwer, formule de Künneth.

Géométrie :

Variétés, surfaces dans R3, hypersurfaces dans Rn, formes et tenseurs, champs de vecteurs, flots, dérivée de Lie, théorème de Stokes, complexe de De Rham, métriques riemanniennes, géodésiques, courbure, connexions et dérivée covariante, formule de Gauss-Bonet.

 

Références:

[B] G.E Bredon, Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 139, Springer, (1997) :[Chapitres 3 et 4].

[Do2] M. P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhauser, (1992): [Chapitres 0 à 4].

[GHL] S. Gallot, D. Hullin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer, (2004): [Chapitres 1, 2 et 3 (section 3A)].

[GP] V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, (1974): [Chapitre 4].

[Ma] W. S. Massey, A basic course in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, 127, Springer, (1991) : [Chapitres 1 à 11].

[M] J.R. Munkres, Topology: A First Course, Prentice Hall, (2000): [Chapitres 2 à 5, 7, 8].

 

Cours suggérés :

Les cours suggérés pour cet examen sont MAT6324 Topologie algébrique, MAT6323 Variétés différentiables et MAT6381 Géométrie différentielle.

 

Matière de l’épreuve spécialisée en mathématiques appliquées de l’examen de synthèse en mathématiques

L’étudiant(e) devra choisir deux sujets parmi les quatre ci-dessous lors de son inscription et répondre aux questions sur ces sujets lors de l’épreuve.

 

SUJET 1 : Analyse numérique (2 questions) :

Analyse numérique élémentaire :

Résolution d’une équation algébrique non linéaire, systèmes algébriques non linéaires, interpolation et approximation de fonctions, dérivation et intégration numériques.

Analyse numérique matricielle :

Méthodes directes, sensibilité de systèmes linéaires, conditionnement et effets des erreurs d’arrondi, factorisations A=LU et A=LLT. Méthodes itératives, gradients conjugués. Valeurs et vecteurs propres : méthodes des puissances, de Householder, QR, des moindres carrés.

Méthodes numériques pour les équations différentielles :

Problèmes de conditions initiales ou aux limites, méthodes d’Euler, d’Euler modifiée, de Runge-Kutta, multipas. Stabilité, compatibilité, convergence et ordre de précision.

Méthodes numériques pour les équations aux dérivés partielles :

Stabilité, compatibilité, convergence. Équations linéaires paraboliques (diffusion) et elliptiques (Laplace, Poisson, etc.); différences finies, éléments finis. Équations linéaires hyperboliques (ondes). Méthode de von Neumann-Fourier pour l’analyse de la stabilité.

 

Références suggérées pour le sujet 1:

[BF] R.L. Burden, J.D. Faires, Numerical Analysis, 9e Edition, Brooks Cole, (2011) : [Chapitres 1 à 4 et 10].

[Le] R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM, (2007): [Chapitres 3, 5 à 10].

[TB] L.N. Trefethen, D Bau, III, Numerical Linear Algebra, SIAM, (1997) : [Cours 7, 8, 10 à 14, 24 à 30, 38 et 40].

 

Cours suggérées pour le sujet 1:

Les cours suggérés pour ce sujet sont MAT6470 Calcul scientifique, MATH 578 Numerical Analysis I, MATH 579 Numerical Differential Equations. (Les cours de sigle MATH sont offerts à l’université McGill).

 

SUJET 2 : Mécanique des fluides (2 questions) :

Idées préliminaires :

Dynamique des écoulements idéaux, rotationnel de la vitesse d’écoulement, théorèmes de circulation.

Aérodynamique :

Écoulements potentiels, théorie bidimensionnelle des profils, éléments de la théorie potentielle complexe.

Écoulements visqueux compressibles et incompressibles :

Écoulements visqueux compressibles et incompressibles, équations de Navier-Stokes, écoulements à nombre de Reynolds faible (), couches limites laminaires ().

Vagues (en eau) :

Instabilités hydrodynamiques, convection thermique.

 

Références suggérées pour le sujet 2:

[Ac] D.J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics,Oxford Applied Mathematics and Computing Series, Clarendon Press, (1995): [Chapitres 1 à 9].

[Ch] P. Charbonneau, Notes de cours PHY3140, Université de Montréal : [Chapitres 1 à 6 et 9 à 11].

 

Cours suggérées pour le sujet 2:

Les cours suggérés pour ce sujet sont MAT6150 Mécanique des fluides et PHY3140 Hydrodynamique.

 

SUJET 3 : Systèmes dynamiques (2 questions) :

Rappel des systèmes linéaires :

Équations de différences et équations différentielles linéaires. Utilisation de la théorie de Perron-Frobenius pour les matrices positives et de la forme de Jordan pour les matrices quelconque.

Théorie locale des systèmes non linéaires :

Dépendance aux conditions initiales et aux paramètres. Théorème de la variété stable. Théorème de Hartman-Grobman. Stabilité et fonctions de Lyapounov. Types d’équilibre : nœud, col, centre, foyer. Théorème de la variété centre. Forme normale de Poincaré.

Théorie globale des systèmes non linéaires :

Orbites périodiques et cycles limites. Application de premier retour de Poincaré. Théorème de Poincaré-Bendixson. Stabilité structurelle. Dépendance sensible aux conditions initiales. Théorie locale des bifurcations. Bifurcation de Hopf.

Applications :

Équation logistique pour la croissance de population. Matrice de Leslie pour des populations avec chevauchement de générations. Équations de Lotka-Volterra pour le modèle prédateur-proie. Modèle d’épidémie de Kermack-McKendrick. Équation de réplication en théorie dynamique des jeux. Équations de Lorenz pour la convection atmosphérique. Équations avec délais en physiologie.

 

Références suggérées pour le sujet 3:

[Bri] N.F. Britton, Essential Mathematical Biology, Springer, (2003).

[HSD] M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and Introduction to Chaos, 3e Edition, Academic Press, (2013).

[Pe] L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, 3e Edition, Springer, (2001).

 

Cours suggérées pour le sujet 3:

Les cours suggérés pour ce sujet sont MAT6115 Équations différentielles non linéaires et MAT3450 Modélisation mathématique.

 

SUJET 4 : Optimisation (2 questions) :

Conditions d’existence pour un extremum :

Théorème de Weierstrass, fonctions à valeurs réelles étendues, semi-continuités, notions de convexité, convexification et transformée de Fenchel–Legendre, problèmes primal et dual de Fenchel.

Conditions générales d’optimalité, semi-différentiabilité et différentiabilité :

Cône tangent des directions admissibles, condition nécessaire locale, cône dual, condition nécessaire duale, semi-différentiabilité des fonctions semi-convexes, condition nécessaire et suffisante dans le cas convexe, optimisation linéaire et optimisation quadratique.

Optimisation différentiable avec contraintes :

Théorèmes des multiplicateurs de Lagrange, de Karush-Kuhn-Tucker, et du cas mixte de contraintes d’égalité et d’inégalité simultanées.

Quelques méthodes numériques en optimisation différentiable sans contraintes :

Méthodes du premier ordre (plus forte pente, pas ajustés, directions conjuguées, gradient conjugué); méthodes du second ordre (Newton et ses variantes, Fletcher et Powell).

 

Références suggérées pour le sujet 4:

[De1] M. C. Delfour, Introduction to optimization and semi-differential calculus, SIAM-MOS Series, Society for Industrial and Applied Mathematics,(2012).

[De2] M. C. Delfour, Quelques méthodes numériques en optimisation différentiable sans contraintes. Notes du cours MAT 3431, Universitéé de Montréal.

 

Cours suggérées pour le sujet 4:

Le cours suggéré pour ce sujet est MAT3431 Théorie de l’optimisation.

 

Matière de l’épreuve spécialisée en probabilités de l’examen de synthèse en mathématiques

Notions de base :

Espace de probabilité. Extension de mesures. Variables et vecteurs aléatoires. Fonction de distribution. Indépendance. Lemmes de Borel-Cantelli. Espérance. Lemme de Fatou. Convergence monotone et convergence dominée. Changement de variables. Espace produit. Espaces Lp. Variance et covariance. Inégalités de Jensen et de Cauchy-Schwarz.

Convergence de variables aléatoires :

Modes de convergence (en probabilité, presque sûre, en moyenne). Inégalités de Markov et de Chebyshev. Lois faible et forte des grands nombres. Convergence en distribution. Théorème de Skorokhod. Théorème porte-manteau. Tension et intégrabilité uniforme. Fonction caractéristique. Théorème de continuité de Lévy. Théorème central limite. Méthode des moments.

Martingales :

Espérance conditionnelle. Martingales à temps discret. Temps d'arrêt. Martingale arrêtée. Théorème d'arrêt de Doob. Théorème de convergence des martingales de Doob. Martingales dans L2. Sous-martingales. Inégalité maximale de Doob.

Chaînes de Markov :

Chaînes de Markov à temps discret. Matrice de transition. Distribution stationnaire. Théorème ergodique. Chaînes de Markov à temps continu. Générateur. Processus de Poisson. Processus de naissance et de mort.

Mouvement brownien et calcul stochastique :

Définition et propriétés du mouvement brownien. Martingales à temps continu. Intégrale d'Itô. Formule d'Itô.

 

Références suggérées:

[Du] R. Durrett, Probability: Theory and Examples, Duxbury Press, (2010): [Chapitre 5].

[GS] G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker, Probability and Random processes, Clarendon Press, (2001): [Chapitre 6].

[R] J.S. Rosenthal, A First Look at Rigorous Probability Theory, World Scientific Publishing, (2006): [Chapitres 2, 3, 4 et 6].

[S] J.M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, (2000): [Chapitres 3, 4, 6 et 8].

[W] D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, (1991): [Chapitres 13, 16, 17 et 18].

 

Cours suggérées:

Le cours MAT6717 (Probabilités) et le début des cours MAT2717 (Processus stochastiques) et MAT6798 (Calcul stochastique) peuvent aider à la préparation de l'épreuve. Le cours MAT6111 (Mesure et intégration) peut aider à une meilleure compréhension des résultats en théorie de la mesure utilisés en probabilités.