Superpositions non-linéaires des ondes de Riemann admises par le système d'équations de la magnétohydrodynamique idéale multidimensionnelle

Sur les solutions invariantes et conditionnellement invariantes des équations de la magnétohydrodynamique

Le but de cette thèse par articles est d’étudier certains aspects géométriques des supervariétés associées aux systèmes supersymétriques intégrables. Ce travail a abouti en quatre articles publiés et un article présentement soumis dans des revues internationales avec des comités de lecture. Dans le premier article, deux extensions supersymétriques des équations de Gauss–Weingarten et de Gauss– Codazzi pour des surfaces plongées dans des superespaces euclidiens ont été construites. Cela a permis de fournir une caractérisation géométrique de telles surfaces avec des vecteurs tangents linéairement indépendants orientés dans la direction des déplacements infinitésimaux des dérivées fermioniques covariantes. De plus, une étude des symétries des versions supersymétriques des équations de Gauss–Codazzi a permis de construire des solutions invariantes au moyen de la méthode de réduction par symétrie impliquant les variables bosoniques et fermioniques, ce qui a mené à des surfaces non triviales, par exemple des surfaces à courbure de Gauss nulle. Dans le second article, l’extension aux cas supersymétriques d’une conjecture énonçant les conditions nécessaires pour qu’un système soit intégrable au sens de la théorie des solitons a été formulée. Cela a été accompli en introduisant un nouvel opérateur de projection et en comparant les symétries du système original avec celles du problème linéaire associé. Cette conjecture a été appliquée à certains exemples et un paramètre « spectral » fermionique a été introduit dans un des systèmes. Dans le troisième article, deux versions supersymétriques de la formule de Fokas–Gel’fand pour l’immersion de surfaces solitoniques dans une superalgèbre de Lie ont été construites. La caractérisation géométrique de la fonction d’immersion, présentée dans cet article, a permis d’investiguer les comportements des surfaces associées. Ces considérations théoriques ont été appliquées à l’équation de sine-Gordon supersymétrique pour laquelle des surfaces à courbure de Gauss constante et de type Weingarten non linéaire ont été obtenues. Le quatrième article est dévoué aux propriétés d’intégrabilité de l’équation de sine-Gordon supersymétrique et à la construction de solutions multisolitoniques explicites. Deux types de problèmes linéaires spectraux, une version supersymétrique d’un ensemble d’équations de Riccati couplées et la transformation d’auto-Bäcklund, tous équivalents à l’équation de sine-Gordon supersymétrique, ont été étudiés. De plus, une analyse détaillée de la énième transformation de Darboux a permis de trouver des solutions multisolitoniques non triviales de l’équation de sine-Gordon supersymétrique. Ces solutions ont été utilisées pour investiguer la version supersymétrique bosonique de la formule d’immersion de Sym–Tafel. Dans le cinquième article, une nouvelle caractérisation géométrique de la formule d’immersion de Fokas–Gel’fand est présentée. Afin d’accomplir cela, trois différents types de problèmes linéaires spectraux sont étudiés, un impliquant les dérivées fermioniques covariantes, un impliquant les dérivées par rapport aux variables bosoniques et un impliquant les dérivées par rapport aux variables fermioniques. Cette caractérisation géométrique implique huit coefficients linéairement indépendants pour les première et deuxième formes fondamentales, contrairement à trois dans le troisième article, ce qui mène à une géométrie plus riche dans le sens où les supervariétés caractérisées de type unidimensionnel (« curve-like ») dans le troisième article sont de type multidimensionnel dans le cinquième article.

Les objets d’étude de cette thèse sont les systèmes d’équations quasilinéaires du premier ordre. Dans une première partie, on fait une analyse du point de vue du groupe de Lie classique des symétries ponctuelles d’un modèle de la plasticité idéale. Les écoulements planaires dans les cas stationnaire et non-stationnaire sont étudiés. Deux nouveaux champs de vecteurs ont été obtenus, complétant ainsi l’algèbre de Lie du cas stationnaire dont les sous-algèbres sont classifiées en classes de conjugaison sous l’action du groupe. Dans le cas non-stationnaire, une classification des algèbres de Lie admissibles selon la force choisie est effectuée. Pour chaque type de force, les champs de vecteurs sont présentés. L’algèbre ayant la dimension la plus élevée possible a été obtenues en considérant les forces monogéniques et elle a été classifiée en classes de conjugaison. La méthode de réduction par symétrie est appliquée pour obtenir des solutions explicites et implicites de plusieurs types parmi lesquelles certaines s’expriment en termes d’une ou deux fonctions arbitraires d’une variable et d’autres en termes de fonctions elliptiques de Jacobi. Plusieurs solutions sont interprétées physiquement pour en déduire la forme de filières d’extrusion réalisables. Dans la seconde partie, on s’intéresse aux solutions s’exprimant en fonction d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre. La méthode des caractéristiques généralisées ainsi qu’une méthode basée sur les symétries conditionnelles pour les invariants de Riemann sont étendues pour être applicables à des systèmes dans leurs régions elliptiques. Leur applicabilité est démontrée par des exemples de la plasticité idéale non-stationnaire pour un flot irrotationnel ainsi que les équations de la mécanique des fluides. Une nouvelle approche basée sur l’introduction de matrices de rotation satisfaisant certaines conditions algébriques est développée. Elle est applicable directement à des systèmes non-homogènes et non-autonomes sans avoir besoin de transformations préalables. Son efficacité est illustrée par des exemples comprenant un système qui régit l’interaction non-linéaire d’ondes et de particules. La solution générale est construite de façon explicite.

Dans ce travail, nous adaptons la méthode des symétries conditionnelles afin de construire des solutions exprimées en termes des invariants de Riemann. Dans ce contexte, nous considérons des systèmes non elliptiques quasilinéaires homogènes (de type hydrodynamique) du premier ordre d'équations aux dérivées partielles multidimensionnelles. Nous décrivons en détail les conditions nécessaires et suffisantes pour garantir l'existence locale de ce type de solution. Nous étudions les relations entre la structure des éléments intégraux et la possibilité de construire certaines classes de solutions de rang k. Ces classes de solutions incluent les superpositions non linéaires d'ondes de Riemann ainsi que les solutions multisolitoniques. Nous généralisons cette méthode aux systèmes non homogènes quasilinéaires et non elliptiques du premier ordre. Ces méthodes sont appliquées aux équations de la dynamique des fluides en (3+1) dimensions modélisant le flot d'un fluide isentropique. De nouvelles classes de solutions de rang 2 et 3 sont construites et elles incluent des solutions double- et triple-solitoniques. De nouveaux phénomènes non linéaires et linéaires sont établis pour la superposition des ondes de Riemann. Finalement, nous discutons de certains aspects concernant la construction de solutions de rang 2 pour l'équation de Kadomtsev-Petviashvili sans dispersion.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.