Nous considérons le système dynamique de dimension six introduit par Ryanpour décrire le scenario de Belinskii, Khalatnikov et Lifshitz d'approche de la singularité cosmologique quand le tenseur métrique spatial n'est pasdiagonal.Malgré sa non-integrabilité, récemment prouvée par Goldstein et Piechocki,les trois systèmes quadridimensionnels définis par l'annulationd'une des trois composantes se trouvent être intégrables.Nous exprimons leur solution générale par une fonction rationnelle de,respectivement, deux fonctions exponentielles, une troisième fonction de Painlevé,deux fonctions exponentielles.