Dans cette thèse, nous étudions le spectre conforme d'une surface fermée et le spectre de Steklov conforme d'une surface compacte à bord et leur application à la géométrie conforme et à la topologie. Soit (Σ, c) une surface fermée munie d'une classe conforme c. Alors la k-ième valeur propre conforme est définie comme Λ_k(Σ,c)=sup{λ_k(g) Aire(Σ,g)| g ∈ c), où λ_k(g) est la k-ième valeur propre de l'operateur de Laplace-Beltrami de la métrique g sur Σ. Notons que nous commeçons par λ_0(g) = 0. En prennant le supremum sur toutes les classes conformes C sur Σ on obtient l'invariant topologique suivant de Σ: Λ_k(Σ)=sup{Λ_k(Σ,c)| c ∈ C}. D'après l'article [65], les quantités Λ_k(Σ, c) et Λ_k(Σ) sont bien définies. Si une métrique g sur Σ satisfait λ_k(g) Aire(Σ, g) = Λ_k(Σ), alors on dit que g est maximale pour la fonctionnelle λ_k(g) Aire(Σ, g). Dans l'article [73], il a été montré que les métriques maximales pour λ_1(g) Aire(Σ, g) peuvent au pire avoir des singularités coniques. Dans cette thèse nous montrons que les métriques maximales pour les fonctionnelles λ_1(g) Aire(T^2, g) et λ_1(g) Aire(KL, g), où T^2 et KL dénotent le 2-tore et la bouteille de Klein, ne peuvent pas avoir de singularités coniques. Ce résultat découle d'un théorème de classification de classes conformes par des métriques induites d'une immersion minimale ramifiée dans une sphère ronde aussi montré dans cette thèse. Un autre invariant que nous étudions dans cette thèse est le k-ième invariant de Friedlander-Nadirashvili défini comme: I_k(Σ) = inf{Λ_k(Σ, c)| c ∈ C}. L'invariant I_1(Σ) a été introduit dans l'article [34]. Dans cette thèse nous montrons que pour toute surface orientable et pour toute surface non-orientable de genre impaire I_k(Σ)=I_k(S^2) et pour toute surface non-orientable de genre paire I_k(RP^2) ≥ I_k(Σ)>I_k(S^2). Ici S^2 et RP^2 dénotent la 2-sphère et le plan projectif. Nous conjecturons que I_k(Σ) sont des invariants des cobordismes des surfaces fermées. Le spectre de Steklov conforme est défini de manière similaire. Soit (Σ, c) une surface compacte à bord non vide ∂Σ, alors les k-ièmes valeurs propres de Steklov conformes sont définies comme: σ*_k(Σ, c)=sup{σ_k(g) Longueur(∂Σ, g)| g ∈ c}, où σ_k(g) est la k-ième valeur propre de Steklov de la métrique g sur Σ. Ici nous supposons que σ_0(g) = 0. De façon similaire au problème fermé, on peut définir les quantités suivantes: σ*_k(Σ)=sup{σ*_k(Σ, c)| c ∈ C} et I^σ_k(Σ)=inf{σ*_k(Σ, c)| c ∈ C}. Les résultats de l'article [16] impliquent que toutes ces quantités sont bien définies. Dans cette thèse on obtient une formule pour la limite de σ*_k(Σ, c_n) lorsque la suite des classes conformes c_n dégénère. Cette formule implique que pour toute surface à bord I^σ_k(Σ)= I^σ_k(D^2), où D^2 dénote le 2-disque. On remarque aussi que les quantités I^σ_k(Σ) sont des invariants des cobordismes de surfaces à bord. De plus, on obtient une borne supérieure pour la fonctionnelle σ^k(g) Longueur(∂Σ, g), où Σ est non-orientable, en terme de son genre et le nombre de composants de bord.

La présente thèse porte sur les fonctions propres du laplacien et d’opérateurs de Schrödinger en dimension quelconque. Plus précisément, pour une variété (M,g) de dimension d et une fonction V : M → R, on considère les solutions de l’équation suivante: (∆_g + V ) f_λ = λ f_λ . On appelle l’opérateur ∆_g + V un opérateur de Schrödinger et V le potentiel. Le cas le plus simple et le plus étudié est le laplacien (on pose V ≡ 0 sur M ). Si M est compacte et sans bord, alors il existe une suite 0 = λ_0 < λ_1 ≤ λ_2 -> +∞ qui forme le spectre de ∆_g et une suite de fonctions propres f_n qui satisfont à ∆_g f_n = λ_n f_n . Cette propriété est aussi respectée pour beaucoup de potentiels et de variétés. Premièrement, nous avons étudié le nombre de domaines nodaux des fonctions propres quand la valeur propre tend vers l’infini. Les domaines nodaux d’une fonction f sur M sont les composantes connexes de l’ensemble M \f^{−1} (0). Ils nous permettent de mesurer le caractère oscillatoire de f en comptant le nombre de fois où f change de signe. L’objectif principal de la thèse était de généraliser le théorème de Pleijel [52] sur le nombre de domaines nodaux des fonctions propres du laplacien à d’autre opérateurs de Schrödinger. Dans l’article [2], nous avons montré que la borne du théorème de Pleijel s’applique aussi à l’oscillateur harmonique quantique dans R^d . De plus, nous avons remarqué que cette borne pouvait être améliorée en fonction de la forme quadratique qui définit le potentiel. Ensuite, dans l’article [3], nous avons généralisé le résultat obtenu dans [2] à une large classe de potentiels radiaux, incluant des potentiels qui tendent vers zéro à l’infini ou ayant une singularité à l’origine. Cela inclut le potentiel de Coulomb, qui modélise un atome d’hydrogène isolé dans l’espace. Pour ces potentiels, nous considérons les valeurs propres strictement inférieures au spectre essentiel. Nous avons aussi étudié les points critiques des fonctions propres du laplacien. Jusqu’à tout récemment, il y avait seulement une borne inférieure sur le nombre de points critiques pour certaines variétés [36], mais il n’y avait pas de borne supérieure connue. En 2019, Buhovsky, Logunov et Sodin ont construit une métrique sur T^2 et une suite de fonctions propres du laplacien qui ont toutes une infinité de points critiques. Dans l’article [4], nous utilisons une nouvelle méthode pour construire des métriques sur T^2 et S^2 et des fonctions propres pour ces métriques qui ont une infinité de points critiques. De plus, nous montrons que ces métriques peuvent être arbitrairement proches de la métrique plate sur T^2 et de la métrique standard sur S^2 . Ces métriques donnent aussi des contre-exemples à la conjecture de Courant-Hermann sur le nombre de domaines nodaux des combinaisons linéaires de fonctions propres du laplacien.

Ce mémoire contient deux articles que j’ai rédigés au cours de ma maîtrise. Le premier chapitre sert d’introduction à ces articles. Plusieurs concepts de géométrie spectrale y sont présentés dans le contexte du problème de Steklov, en plus des résultats principaux des chapitres subséquents. Le second chapitre porte sur le problème de Steklov paramétrique sur des surfaces lisses. Un développement asymptotique complet des valeurs propres du problème est obtenu à l’aide de méthodes pseudodifférentielles. Celui-ci généralise l’asymptotique spectrale déjà connue du problème de Steklov classique. Nous en déduisons de nouveaux invariants géométriques déterminés par le spectre. Le troisième chapitre porte sur le problème de ballottement sur des prismes à base triangulaire. Le but est de comprendre comment les angles du prisme affectent le deuxième terme du développement asymptotique de la fonction de compte des valeurs propres. En construisant des quasimodes, nous obtenons une expression de ce terme que nous conjecturons comme étant la bonne pour les vraies valeurs propres. Cette conjecture est alors supportée par des expériences numériques.

In this thesis, we will work with the nodal sets of Laplace eigenfunctions on a few simple manifolds, like the sphere and the flat torus. We will obtain bounds on the total Betti number of the nodal set that depend on the corresponding eigenvalue. Our work generalize Courant's theorem.

Ce mémoire traite de l’harmonicitié d’instruments de musique à travers la géométrie spectrale. Nous y présentons, en premier lieu, les résultats connus concernant la corde de guitare, le tambour circulaire et puis le tabla ; le premier est harmonique, le deuxième ne l’est pas et puis le dernier s’en approche. Le cas de la timbale est ce qui constitue la majeure partie de notre travail. L’ingénieur-physicien Robert E. Davis en avait déjà étudié la quasi-harmonicité et nous faisons ici une relecture mathématique de sa démarche. En alliant les méthodes analytiques et numériques, nous montrons que la caisse de résonance de la timbale permet à la fois d’ajuster les fréquences de vibration de la forme ω_(i1) , avec 1 ≤ i ≤ 5, afin qu’elles s’approchent du rapport idéal 2 : 3 : 4 : 5 : 6, et elle permet aussi d’étouffer certains autres modes dissonants. Pour ce faire, nous élaborons un modèle simplifié de timbale cylindrique basé sur la physique et sur ce que propose Davis dans sa thèse. Ce modèle nous fournit un système d’équations divisé en trois parties : la vibration de la peau et la pression à l’intérieur et à l’extérieur de la timbale. Nous utilisons la méthode des fonctions de Green pour trouver les expressions des deux pressions. Nous nous servons de celles-ci ainsi que d’un développement en série de Fourier-Bessel modifiée pour résoudre les équations de la vibration de la peau. La résolution de ces équations se ramène finalement à celle d’un système matriciel infini dont nous faisons l’analyse numériquement. À l’aide de Mathématica et de ce système matriciel, nous trouvons les fréquences de vibration de la timbale, ce qui nous permet d’analyser l’harmonicité de l’instrument. Grâce à une mesure de dissonance, nous optimisons l’harmonicité de la timbale en fonction du rayon du cylindre, de sa hauteur et de la tension.

Ce mémoire est composé de trois parties : dans la première, des inégalités spectrales en lien avec la constante de Cheeger et de Jammes-Cheeger, son équivalent pour le problème de Steklov, sont présentées. Une borne supérieure pour les valeurs propres du laplacien sur une variété compacte sans bord est obtenue en généralisant un résultat de Buser. Ensuite une borne inférieure pour la k-ième valeur propre de Steklov ne dépendant que de la k-ième constante de Jammes-Cheeger est démontrée en adaptant une preuve de Lee, Gharan et Trevisan. Dans la deuxième partie, il est montré qu’étant donné une variété M plongée dans R^(n+1), il n’existe pas de minimiseur des valeurs propres de Steklov parmi les variétés plongées dans R^(n+1) ayant pour bord ∂M . Finalement dans la troisième partie, inspiré par des résultats de Christianson sur les triangles et simplex, la masse de Neumann sur le bord d’un polytope des fonctions propres de Dirichlet est étudiée. Une formule explicite exprimant la valeur propre en fonction de la masse de Neumann sur les faces du polytope de la fonction propre correspondante est prouvée.

Dans cette thèse, nous étudions le spectre du laplacien ainsi que celui d’autres opérateurs qui lui sont associés. Sur une variété riemannienne compacte M fermée, ou possédant un bord et munie de conditions frontières auto-adjointes, le laplacien a un spectre réel, discret ?1(M) ≤ ?2≤ (M)… ↗∞ ne s’accumulant qu’à l’infini, où les ?j (M) sont les nombres réels pour lesquels il existe une solution non-triviale à l’équation Δ? + ?? = 0. Nous nous sommes particulièrement intéressé au comportement asymptotique de la fonction de compte N(?; M) ≔ #{ ?j (M) ˂ ?}. Hermann Weyl a démontré en 1911 [80] ce qui s’appelle aujourd’hui la loi de Weyl, N(?; M) ω^d/〖(2π)〗_d Vol(M)?d/2, où ωd est le volume de la boune unité en dimension d. Nous cherchons à déterminer la taille de R(?; M) ≔ N(?; M) − ω^d/〖(2π)〗_d Vol(M)?d/2. Dans les contextes que nous avons étudiés, nous avons traduit ce problème dans les termes de la géométrie des nombres, i.e. l’étude de l’interaction entre les points de réseaux, par exemple ℤd, et les ensembles convexes. Dans le premier chapitre, nous décrivons précisément les problèmes à l’étude ainsi que les liens qu’ils possèdent avec la géométrie des nombres, et décrivons plus en détails les principales techniques utilisées. Le second chapitre, intitulé On a generalised Gauss circle problem and integrated density of states [54], est le fruit d’une collaboration avec Leonid Parnovski. Nous y étudions le spectre du laplacien sur un produit d’un tore plat et de l’espace euclidien. Dans ce cas le spectre n’est pas discret mais nous étudions une quantité, la densité intégrée des états, qui remplit le rôle de la fonction de compte des valeurs propres et qui suit elle-même une loi de Weyl. Nous obtenons des bornes supérieures et inférieures sur R(?) dans ce contexte, qui dépendent des dimensions relatives du tore et de l’espace euclidien. Nous obtenons que lorsque la dimension du tore est strictement inférieure à celle de l’espace euclidien, nos bornes inférieures et supérieures sont dumême ordre polynomial.Nous obtenons aussi un développement asymptotique jusqu’à l’ordre constant pour la densité d’états intégrée de l’opérateur de Schrödinger magnétique avec potentiel constant. Le troisième chapitre, intitulé The Steklov spectrum of cuboids [26] provient d’une collaboration avec Alexandre Girouard, Iosif Polterovich et Alessandro Savo. Nous y étudions le problème aux valeurs propres de Steklov sur des cuboïdes en toute dimension. Cet opérateur a été peu étudié sur des domaines dont la frontière n’est pas lisse et nous utilisons le cuboïde comme premier modèle d’un tel cas. Le spectre reste discret et ne s’accumule qu’à l’infini, nous obtenons une loi de Weyl à deux termes ainsi qu’une inégalité isopérimétrique pour la première valeur propre non triviale. Finalement, nous y obtenons aussi que certaines suites de fonctions propres se concentrent asymptotiquement sur des ensembles de mesure nulle, un comportement qu’on appelle la cicatrisation. Dans le dernier chapitre, intitulé Eigenvalue optimisation on flat tori and lattice points in anisotropically expanding domains [53], nous étudions le spectre du laplacien sur des tores plats. Nous obtenons des bornes pour R(?;M) dépendant du rayon d’injectivité. Nous utilisons ensuite ces bornes pour démontrer que toute suite de tores plats ?K maximisant la k-ième valeur propre du laplacien doit dégénérer lorsque la dimension est inférieure à 10. Pour ce faire, nous avons ramené le problème à celui de compter les points de ℤd dans un domaine qui croît de façon anisotrope, généralisant des résultats obtenus par Yuri Kordyukov et Andrei Yakovlev [49].

L’opérateur de Steklov est un opérateur pseudo-différentiel elliptique d’ordre 1. Il est connu que les valeurs propres de Steklov d’une surface ne dépendent asymptotiquement que des longueurs des composantes connexes de la frontière. Dans ce mémoire, on montre qu’asymptotiquement, les fonctions propres de Steklov ne se concentrent que sur une composante connexe de la frontière si aucun des rapports entre les longueurs des composantes de la frontière n’est finement approximable par une suite rationnelle.

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.

L'objectif de ce mémoire est de démontrer certaines propriétés géométriques des fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique. Nous étudierons les domaines nodaux, c'est-à-dire les composantes connexes du complément de l'ensemble nodal. Supposons que les valeurs propres ont été ordonnées en ordre croissant. Selon un théorème fondamental dû à Courant, une fonction propre associée à la $n$-ième valeur propre ne peut avoir plus de $n$ domaines nodaux. Ce résultat a été prouvé initialement pour le laplacien de Dirichlet sur un domaine borné mais il est aussi vrai pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Le théorème a été amélioré par Pleijel en 1956 pour le laplacien de Dirichlet. En effet, on peut donner un résultat asymptotique plus fort pour le nombre de domaines nodaux lorsque les valeurs propres tendent vers l'infini. Dans ce mémoire, nous prouvons un résultat du même type pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Pour ce faire, nous utiliserons une combinaison d'outils classiques de la géométrie spectrale (dont certains ont été utilisés dans la preuve originale de Pleijel) et de plusieurs nouvelles idées, notamment l'application de certaines techniques tirées de la géométrie algébrique et l'étude des domaines nodaux non-bornés.

Dans cette thèse, nous étudions les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami - ou simplement laplacien - sur une surface fermée, c'est-à-dire une variété riemannienne lisse, compacte et sans bord de dimension 2. Ces fonctions propres satisfont l'équation $\Delta_g \phi_\lambda + \lambda \phi_\lambda = 0$ et les valeurs propres forment une suite infinie. L'ensemble nodal d'une fonction propre du laplacien est celui de ses zéros et est d'intérêt depuis les expériences de plaques vibrantes de Chladni qui remontent au début du 19ème siècle et, plus récemment, dans le contexte de la mécanique quantique. La taille de cet ensemble nodal a été largement étudiée ces dernières années, notamment par Donnelly et Fefferman, Colding et Minicozzi, Hezari et Sogge, Mangoubi ainsi que Sogge et Zelditch. L'étude de la croissance de fonctions propres n'est pas en reste, avec entre autres les récents travaux de Donnelly et Fefferman, Sogge, Toth et Zelditch, pour ne nommer que ceux-là. Notre thèse s'inscrit dans la foulée du travail de Nazarov, Polterovich et Sodin et relie les propriétés de croissance des fonctions propres avec la taille de leur ensemble nodal dans l'asymptotique $\lambda \nearrow \infty$. Pour ce faire, nous considérons d'abord les exposants de croissance, qui mesurent la croissance locale de fonctions propres et qui sont obtenus à partir de la norme uniforme de celles-ci. Nous construisons ensuite la croissance locale moyenne d'une fonction propre en calculant la moyenne sur toute la surface de ces exposants de croissance, définis sur de petits disques de rayon comparable à la longueur d'onde. Nous montrons alors que la taille de l'ensemble nodal est contrôlée par le produit de cette croissance locale moyenne et de la fréquence $\sqrt{\lambda}$. Ce résultat permet une reformulation centrée sur les fonctions propres de la célèbre conjecture de Yau, qui prévoit que la mesure de l'ensemble nodal croît au rythme de la fréquence. Notre travail renforce également l'intuition répandue selon laquelle une fonction propre se comporte comme un polynôme de degré $\sqrt{\lambda}$. Nous généralisons ensuite nos résultats pour des exposants de croissance construits à partir de normes $L^q$. Nous sommes également amenés à étudier les fonctions appartenant au noyau d'opérateurs de Schrödinger avec petit potentiel dans le plan. Pour de telles fonctions, nous obtenons deux résultats qui relient croissance et taille de l'ensemble nodal.

Les façons d'aborder l'étude du spectre du laplacien sont multiples. Ce mémoire se concentre sur les partitions spectrales optimales de domaines planaires. Plus précisément, lorsque nous imposons des conditions aux limites de Dirichlet, nous cherchons à trouver la ou les partitions qui réalisent l'infimum (sur l'ensemble des partitions à un certain nombre de composantes) du maximum de la première valeur propre du laplacien sur tous ses sous-domaines. Dans les dernières années, cette question a été activement étudiée par B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini et leurs collaborateurs, qui ont obtenu plusieurs résultats analytiques et numériques importants. Dans ce mémoire, nous proposons un problème analogue, mais pour des conditions aux limites de Neumann cette fois. Dans ce contexte, nous nous intéressons aux partitions spectrales maximales plutôt que minimales. Nous cherchons alors à vérifier le maximum sur toutes les $k$-partitions possibles du minimum de la première valeur propre non nulle de chacune des composantes. Cette question s'avère plus difficile que sa semblable dans la mesure où plusieurs propriétés des valeurs propres de Dirichlet, telles que la monotonicité par rapport au domaine, ne tiennent plus. Néanmoins, quelques résultats sont obtenus pour des 2-partitions de domaines symétriques et des partitions spécifiques sont trouvées analytiquement pour des domaines rectangulaires. En outre, des propriétés générales des partitions spectrales optimales et des problèmes ouverts sont abordés.

Le problème d’oscillation de fluides dans un conteneur est un problème classique d’hydrodynamique qui est etudié par des mathématiciens et ingénieurs depuis plus de 150 ans. Le présent travail est lié à l’étude de l’alternance des fonctions propres paires et impaires du problème de Steklov-Neumann pour les domaines à deux dimensions ayant une forme symétrique. On obtient des résultats sur la parité de deuxième et troisième fonctions propres d’un tel problème pour les trois premiers modes, dans le cas de domaines symétriques arbitraires. On étudie aussi la simplicité de deux premières valeurs propres non nulles d’un tel problème. Il existe nombre d’hypothèses voulant que pour le cas des domaines symétriques, toutes les valeurs propres sont simples. Il y a des résultats de Kozlov, Kuznetsov et Motygin [1] sur la simplicité de la première valeur propre non nulle obtenue pour les domaines satisfaisants la condition de John. Dans ce travail, il est montré que pour les domaines symétriques, la deuxième valeur propre non-nulle du problème de Steklov-Neumann est aussi simple.

Ce mémoire a pour but d'étudier les propriétés des solutions à l'équation aux valeurs propres de l'opérateur de Laplace sur le disque lorsque les valeurs propres tendent vers l'in ni. En particulier, on s'intéresse au taux de croissance des normes ponctuelle et L1. Soit D le disque unitaire et @D sa frontière (le cercle unitaire). On s'inté- resse aux solutions de l'équation aux valeurs propres f = f avec soit des conditions frontières de Dirichlet (fj@D = 0), soit des conditions frontières de Neumann ( @f @nj@D = 0 ; notons que sur le disque, la dérivée normale est simplement la dérivée par rapport à la variable radiale : @ @n = @ @r ). Les fonctions propres correspondantes sont données par : f (r; ) = fn;m(r; ) = Jn(kn;mr)(Acos(n ) + B sin(n )) (Dirichlet) fN (r; ) = fN n;m(r; ) = Jn(k0 n;mr)(Acos(n ) + B sin(n )) (Neumann) où Jn est la fonction de Bessel de premier type d'ordre n, kn;m est son m- ième zéro et k0 n;m est le m-ième zéro de sa dérivée (ici on dénote les fonctions propres pour le problème de Dirichlet par f et celles pour le problème de Neumann par fN). Dans ce cas, on obtient que le spectre SpD( ) du laplacien sur D, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres, est donné par : SpD( ) = f : f = fg = fk2 n;m : n = 0; 1; 2; : : :m = 1; 2; : : :g (Dirichlet) SpN D( ) = f : fN = fNg = fk0 n;m 2 : n = 0; 1; 2; : : :m = 1; 2; : : :g (Neumann) En n, on impose que nos fonctions propres soient normalisées par rapport à la norme L2 sur D, c'est-à-dire : R D F2 da = 1 (à partir de maintenant on utilise F pour noter les fonctions propres normalisées et f pour les fonctions propres quelconques). Sous ces conditions, on s'intéresse à déterminer le taux de croissance de la norme L1 des fonctions propres normalisées, notée jjF jj1, selon . Il est vi important de mentionner que la norme L1 d'une fonction sur un domaine correspond au maximum de sa valeur absolue sur le domaine. Notons que dépend de deux paramètres, m et n et que la dépendance entre et la norme L1 dépendra du rapport entre leurs taux de croissance. L'étude du comportement de la norme L1 est étroitement liée à l'étude de l'ensemble E(D) qui est l'ensemble des points d'accumulation de log(jjF jj1)= log : Notre principal résultat sera de montrer que [7=36; 1=4] E(B2) [1=18; 1=4]: Le mémoire est organisé comme suit. L'introdution et les résultats principaux sont présentés au chapitre 1. Au chapitre 2, on rappelle quelques faits biens connus concernant les fonctions propres du laplacien sur le disque et sur les fonctions de Bessel. Au chapitre 3, on prouve des résultats concernant la croissance de la norme ponctuelle des fonctions propres. On montre notamment que, si m=n ! 0, alors pour tout point donné (r; ) du disque, la valeur de F (r; ) décroit exponentiellement lorsque ! 1. Au chapitre 4, on montre plusieurs résultats sur la croissance de la norme L1. Le probl ème avec conditions frontières de Neumann est discuté au chapitre 5 et on présente quelques résultats numériques au chapitre 6. Une brève discussion et un sommaire de notre travail se trouve au chapitre 7.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

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Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

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