Granville, Andrew
- Professeur titulaire
-
Faculté des arts et des sciences - Département de mathématiques et de statistique
André-Aisenstadt Local 6153
Courriels
Affiliations
- Membre Centre de recherches mathématiques
- Titulaire Chaire de recherche du Canada en théorie des nombres
- Membre CRM Centre de recherches mathématiques
Expertise
- Théorie analytique des nombres
- Combinatoire analytique
- Approche prétentieuse
- Conjecture ABC
- Distribution des nombres premiers
- Anatomie des entiers
- Théorie des nombres
Encadrement Tout déplier Tout replier
On the distribution of polynomials having a given number of irreducible factors over finite fields
Thèses et mémoires dirigés / 2022-08
Datta, Arghya
Abstract
Abstract
Soit q ⩾ 2 une puissance première fixe. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier le comportement
asymptotique de la fonction arithmétique Π_q(n,k) comptant le nombre de polynômes
moniques de degré n et ayant exactement k facteurs irréductibles (avec multiplicité) sur le corps
fini F_q. Warlimont et Car ont montré que l’objet Π_q(n,k) est approximativement distribué de
Poisson lorsque 1 ⩽ k ⩽ A log n pour une constante A > 0. Plus tard, Hwang a étudié la
fonction Π_q(n,k) pour la gamme complète 1 ⩽ k ⩽ n. Nous allons d’abord démontrer une formule
asymptotique pour Π_q(n,k) en utilisant une technique analytique classique développée
par Sathe et Selberg. Nous reproduirons ensuite une version simplifiée du résultat de Hwang
en utilisant la formule de Sathe-Selberg dans le champ des fonctions. Nous comparons également
nos résultats avec ceux analogues existants dans le cas des entiers, où l’on étudie tous les
nombres naturels jusqu’à x avec exactement k facteurs premiers. En particulier, nous montrons
que le nombre de polynômes moniques croît à un taux étonnamment plus élevé lorsque k est un
peu plus grand que logn que ce que l’on pourrait supposer en examinant le cas des entiers.
Pour présenter le travail ci-dessus, nous commençons d’abord par la théorie analytique des
nombres de base dans le contexte des polynômes. Nous introduisons ensuite les fonctions arithmétiques
clés qui jouent un rôle majeur dans notre thèse et discutons brièvement des résultats
bien connus concernant leur distribution d’un point de vue probabiliste. Enfin, pour comprendre
les résultats clés, nous donnons une discussion assez détaillée sur l’analogue de champ de fonction
de la formule de Sathe-Selberg, un outil récemment développé par Porrit et utilisons ensuite
cet outil pour prouver les résultats revendiqués.
Long large character sums
Thèses et mémoires dirigés / 2019-12
Bujold, Crystel
Abstract
Abstract
Cette thèse traite d’un sujet central de la théorie analytique des nombres, notamment celui des caractères de Dirichlet et plus particulièrememt, celui des sommes de caractères. Plus précisément, on y développe un résultat concernant la valeur maximale pouvant être atteinte par une longue somme de caractère. Chemin faisant, nous serons amenés à investiguer la structure de réseaux et nous en soutirerons un résultat intéressant. Dans le Chapitre 1 sont discutées les notions et techniques nécessaires à l’élaboration
de la preuve du résultat principal. On y discutera des notions d’analyse harmonique, de techniques classiques de théorique des nombres et l’on fera finalement un survol des nombres friables. Le Chapitre 2 introduira la théorie propre aux caractères de Dirichlet et aux sommes de
caractères. Les propriétés de bases et les théorèmes classiques seront couverts ainsi qu’un aperçu des résultats récents qui touchent de près au sujet principal de cette thèse. On donnera au Chapitre 3 un premier résultat qui fera diverger la thèse dans le domaine
des réseaux. Il s’agit d’un résultat auxiliaire au résultat principal, mais qui offre un intérêt indépendant aux sommes de caractères. Il sera question de l’ordre de grandeur des multiples d’un vecteur choisi dans un réseau, lorsque les multiplicateurs sont dans certaines classes de congruences. Le Chapitre 4 servira de lien entre les réseaux et les caractères et on y appliquera les
théorème démontrés au Chapitre 3. Les résultats sur les caractères qui en découlerons serons les éléments clés pour la preuve du théorème principal. Au chapitre 5, nous dériverons quelques estimés préliminaires qui seront nécessaires à la
preuve du théorème principal. En particulier, le chapitre sera divisé en deux sectioncs; l’une traitant de sommes exponentielles, l’autre de nombre friables. Finalement, le Chapitre 6 constitura le point culminant de cette thèse et servira à
démontrer le résultat principal sur les sommes de caractères. Nous y prouverons une borne inférieur sur le maximum pouvant être atteinte par un caractère parmi les caractères modulo un nombre premier q.
Anatomy of smooth integers
Thèses et mémoires dirigés / 2017-07
Mehdizadeh, Marzieh
Abstract
Abstract
Dans le premier chapitre de cette thèse, nous passons en revue les outils de la théorie analytique
des nombres qui seront utiles pour la suite. Nous faisons aussi un survol des entiers
y−friables, c’est-à-dire des entiers dont chaque facteur premier est plus petit ou égal à y.
Au deuxième chapitre, nous présenterons des problèmes classiques de la théorie des nombres
probabiliste et donnerons un bref historique d’une classe de fonctions arithmétiques sur un
espace probabilisé.
Le problème de Erdos sur la table de multiplication demande quel est le nombre d’entiers
distincts apparaissant dans la table de multiplication N × N. L’ordre de grandeur de cette
quantité a été déterminé par Kevin Ford (2008). Dans le chapitre 3 de cette thèse, nous
étudions le nombre d’ensembles y−friables de la table de multiplication N × N. Plus concrètement,
nous nous concentrons sur le changement du comportement de la fonction A(x, y)
par rapport au domaine de y, où A(x, y) est une fonction qui compte le nombre d’entiers
y− friables distincts et inférieurs à x qui peuvent être représentés comme le produit de deux
entiers y− friables inférieurs à p
x.
Dans le quatrième chapitre, nous prouvons un théorème de Erdos-Kac modifié pour l’ensemble
des entiers y− friables. Si !(n) est le nombre de facteurs premiers distincts de n, nous prouvons
que la distribution de !(n) est gaussienne pour un certain domaine de y en utilisant la
méthode des moments.
Mean values and correlations of multiplicative functions : the ``pretentious" approach
Thèses et mémoires dirigés / 2017-07
Klurman, Oleksiy
Abstract
Abstract
Le sujet principal de cette thèse est l’étude des valeurs moyennes et corrélations de fonctions
multiplicatives. Les résultats portant sur ces derniers sont subséquemment appliqués à la
résolution de plusieurs problèmes.
Dans le premier chapitre, on rappelle certains résultats classiques concernant les valeurs
moyennes des fonctions multiplicatives. On y énonce également les théorèmes principaux de
la thèse.
Le deuxième chapitre consiste de l’article “Mean values of multiplicative functions over
the function fields". En se basant sur des résultats classiques de Wirsing, de Hall et de Tenenbaum
concernant les fonctions multiplicatives arithmétiques, on énonce et on démontre des
théorèmes qui y correspondent pour les fonctions multiplicatives sur les corps des fonctions
Fq[x]. Ainsi, on résoud un problème posé dans un travail récent de Granville, Harper et
Soundararajan. On décrit dans notre thése certaines caractéristiques du comportement des
fonctions multiplicatives sur les corps de fonctions qui ne sont pas présentes dans le contexte
des corps de nombres. Entre autres, on introduit pour la première fois une notion de
“simulation” pour les fonctions multiplicatives sur les corps de fonctions Fq[x].
Les chapitres 3 et 4 comprennent plusieurs résultats de l’article “Correlations of multiplicative
functions and applications". Dans cet article, on détermine une formule asymptotique
pour les corrélations
X
n6x
f1(P1(n)) · · · fm(Pm(n)),
où f1, . . . ,fm sont des fonctions multiplicatives de module au plus ou égal à 1 ”simulatrices”
qui satisfont certaines hypothèses naturelles, et P1, . . . ,Pm sont des polynomes ayant des coefficients
positifs. On déduit de cette formule plusieurs conséquences intéressantes. D’abord,
on donne une classification des fonctions multiplicatives f : N ! {−1,+1} ayant des sommes
partielles uniformément bornées. Ainsi, on résoud un problème d’Erdos datant de 1957 (dans
la forme conjecturée par Tao). Ensuite, on démontre que si la valeur moyenne des écarts
|f(n + 1) − f(n)| est zéro, alors soit |f| a une valeur moyenne de zéro, soit f(n) = ns avec
iii
Re(s) < 1. Ce résultat affirme une ancienne conjecture de Kátai. Enfin, notre théorème principal
est utilisé pour compter le nombre de représentations d’un entier n en tant que somme
a+b, où a et b proviennent de sous-ensembles multiplicatifs fixés de N. Notre démonstration
de ce résultat, dû à l’origine à Brüdern, évite l’usage de la “méthode du cercle".
Les chapitres 5 et 6 sont basés sur les résultats obtenus dans l’article “Effective asymptotic
formulae for multilinear averages and sign patterns of multiplicative functions," un
travail conjoint avec Alexander Mangerel. D’après une méthode analytique dans l’esprit du
théorème des valeurs moyennes de Halász, on détermine une formule asymptotique pour les
moyennes multidimensionelles
x−l
X
n2[x]l
Y
16j6k
fj(Lj(n)),
lorsque x ! 1, où [x] := [1,x] et L1, . . . ,Lk sont des applications linéaires affines qui satisfont
certaines hypothèses naturelles. Notre méthode rend ainsi une démonstration neuve
d’un résultat de Frantzikinakis et Host avec, également, un terme principal explicite et un
terme d’erreur quantitatif. On applique nos formules à la démonstration d’un phénomène
local-global pour les normes de Gowers des fonctions multiplicatives. De plus, on découvre
et explique certaines irrégularités dans la distribution des suites de signes de fonctions
multiplicatives f : N ! a{−1,+1}. Visant de tels résultats, on détermine les densités asymptotiques
des ensembles d’entiers n tels que la fonction f rend une suite fixée de 3 ou 4 signes
dans presque toutes les progressions arithmétiques de 3 ou 4 termes, respectivement, ayant
n comme premier terme. Ceci mène à une généralisation et amélioration du travail de Buttkewitz
et Elsholtz, et donne un complément à un travail récent de Matomäki, Radziwiłł et
Tao sur les suites de signes de la fonction de Liouville.
Dénombrement dans les empilements apolloniens généralisés et distribution angulaire dans les extensions quadratiques imaginaires
Thèses et mémoires dirigés / 2015-07
Dias, Dimitri
Abstract
Abstract
Cette thèse traite de deux thèmes principaux. Le premier concerne l'étude des empilements apolloniens généralisés de cercles et de sphères. Généralisations des classiques empilements apolloniens, dont l'étude remonte à la Grèce antique, ces objets s'imposent comme particulièrement attractifs en théorie des nombres. Dans cette thèse sera étudié l'ensemble des courbures (les inverses des rayons) des cercles ou sphères de tels empilements. Sous de bonnes conditions, ces courbures s'avèrent être toutes entières. Nous montrerons qu'elles vérifient un principe local-global partiel, nous compterons le nombre de cercles de courbures plus petites qu'une quantité donnée et nous nous intéresserons également à l'étude des courbures premières. Le second thème a trait à la distribution angulaire des idéaux (ou plutôt ici des nombres idéaux) des corps de nombres quadratiques imaginaires (que l'on peut voir comme la distribution des points à coordonnées entières sur des ellipses). Nous montrerons que la discrépance de l'ensemble des angles des nombres idéaux entiers de norme donnée est faible et nous nous intéresserons également au problème des écarts bornés entre les premiers d'extensions quadratiques imaginaires dans des secteurs.
L'Approximation diophantienne simultanée et l'optimisation discrète
Thèses et mémoires dirigés / 2014-12
Rodriguez Caballero, José Manuel
Abstract
Abstract
Étant donnée une fonction bornée (supérieurement ou inférieurement) $f:\mathbb{N}^k \To \Real$ par une expression mathématique, le problème de trouver les points extrémaux de $f$ sur chaque ensemble fini $S \subset \mathbb{N}^k$ est bien défini du point de vu classique. Du point de vue de la théorie de la calculabilité néanmoins il faut éviter les cas pathologiques où ce problème a une complexité de Kolmogorov infinie. La principale restriction consiste à définir l'ordre, parce que la comparaison entre les nombres réels n'est pas décidable. On résout ce problème grâce à une structure qui contient deux algorithmes, un algorithme d'analyse réelle récursive pour évaluer la fonction-coût en arithmétique à précision infinie et un autre algorithme qui transforme chaque valeur de cette fonction en un vecteur d'un espace, qui en général est de dimension infinie. On développe trois cas particuliers de cette structure, un de eux correspondant à la méthode d'approximation de Rauzy. Finalement, on établit une comparaison entre les meilleures approximations diophantiennes simultanées obtenues par la méthode de Rauzy (selon l'interprétation donnée ici) et une autre méthode, appelée tétraédrique, que l'on introduit à partir de l'espace vectoriel engendré par les logarithmes de nombres premiers.
Structures linéaires dans les ensembles à faible densité
Thèses et mémoires dirigés / 2014-07
Henriot, Kevin
Abstract
Abstract
Nous présentons trois résultats
en combinatoire additive,
un domaine récent à la croisée
de la combinatoire, l'analyse harmonique
et la théorie analytique des nombres.
Le thème unificateur de notre thèse
est la détection de structures additives
dans les ensembles arithmétiques à faible densité,
avec un intérêt particulier pour les aspects quantitatifs.
Notre première contribution est une estimation
de densité améliorée pour le problème,
initié entre autres par Bourgain,
de trouver une longue progression arithmétique
dans un ensemble somme triple.
Notre deuxième résultat consiste en une généralisation
des bornes de Sanders pour le théorème de Roth,
du cas d'un ensemble dense dans les entiers à
celui d'un ensemble à faible croissance additive
dans un groupe abélien arbitraire.
Finalement, nous étendons
les meilleures bornes quantitatives
connues pour le théorème de Roth dans les premiers,
à tous les systèmes d'équations linéaires
invariants par translation et de
complexité un.
Formes quadratiques ternaires représantant tous les entiers impairs
Thèses et mémoires dirigés / 2013-11
Bujold, Crystel
Abstract
Abstract
En 1993, Conway et Schneeberger fournirent un critère simple permettant de déterminer
si une forme quadratique donnée représente tous les entiers positifs ; le théorème
des 15. Dans ce mémoire, nous nous intéressons à un problème analogue, soit la recherche
d’un critère similaire permettant de détecter si une forme quadratique en trois
variables représente tous les entiers impairs. On débute donc par une introduction générale
à la théorie des formes quadratiques, notamment en deux variables, puis on
expose différents points de vue sous lesquels on peut les considérer. On décrit ensuite
le théorème des 15 et ses généralisations, en soulignant les techniques utilisées dans la
preuve de Bhargava. Enfin, on démontre deux théorèmes qui fournissent des critères
permettant de déterminer si une forme quadratique ternaire représente tous les entiers
impairs.
On some Density Theorems in Number Theory and Group Theory
Thèses et mémoires dirigés / 2012-08
Bardestani, Mohammad
Abstract
Abstract
Gowers, dans son article sur les matrices quasi-aléatoires, étudie la question, posée par Babai et Sos, de l'existence d'une constante $c>0$ telle que tout groupe fini possède un sous-ensemble sans produit de taille supérieure ou égale a $c|G|$. En prouvant que, pour tout nombre premier $p$ assez grand, le groupe $PSL_2(\mathbb{F}_p)$ (d'ordre noté $n$) ne posséde aucun sous-ensemble sans produit de taille $c n^{8/9}$, il y répond par la négative.
Nous allons considérer le probléme dans le cas des groupes compacts finis, et plus particuliérement des groupes profinis $SL_k(\mathbb{Z}_p)$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. La premiére partie de cette thése est dédiée à l'obtention de bornes inférieures et supérieures exponentielles pour la mesure suprémale des ensembles sans produit. La preuve nécessite d'établir préalablement une borne inférieure sur la dimension des représentations non-triviales des groupes finis $SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Notre théoréme prolonge le travail de Landazuri et Seitz, qui considérent le degré minimal des représentations pour les groupes de Chevalley sur les corps finis, tout en offrant une preuve plus simple que la leur.
La seconde partie de la thése à trait à la théorie algébrique des nombres. Un polynome monogéne $f$ est un polynome unitaire irréductible à coefficients entiers qui endengre un corps de nombres monogéne. Pour un nombre premier $q$ donné, nous allons montrer, en utilisant le théoréme de densité de Tchebotariov, que la densité des nombres premiers $p$ tels que $t^q -p$ soit monogéne est supérieure ou égale à $(q-1)/q$. Nous allons également démontrer que, quand $q=3$, la densité des nombres premiers $p$ tels que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ soit non monogéne est supérieure ou égale à $1/9$.
The distribution of k-tuples of reduced residues
Thèses et mémoires dirigés / 2012-08
Aryan, Farzad
Abstract
Abstract
En 1940, Paul Erdős énonça une conjecture sur la distribution des classes inversibles modulo un entier. La présente thèse étudie la distribution des k-uplets de classes inversibles propose une preuve de la conjecture d'Erdős étendue au cas des k-uplets.
Les progressions arithmétiques dans les nombres entiers
Thèses et mémoires dirigés / 2012-02
Poirier, Antoine
Abstract
Abstract
Le sujet de cette thèse est l'étude des progressions arithmétiques dans les nombres entiers. Plus précisément, nous nous intéressons à borner inférieurement v(N), la taille du plus grand sous-ensemble des nombres entiers de 1 à N qui ne contient pas de progressions arithmétiques de 3 termes. Nous allons donc construire de grands sous-ensembles de nombres entiers qui ne contiennent pas de telles progressions, ce qui nous donne une borne inférieure sur v(N). Nous allons d'abord étudier les preuves de toutes les bornes inférieures obtenues jusqu'à présent, pour ensuite donner une autre preuve de la meilleure borne. Nous allons considérer les points à coordonnés entières dans un anneau à d dimensions, et compter le nombre de progressions arithmétiques qu'il contient. Pour obtenir des bornes sur ces quantités, nous allons étudier les méthodes pour compter le nombre de points de réseau dans des sphères à plusieurs dimensions, ce qui est le sujet de la dernière section.
Sur la répartition des unités dans les corps quadratiques réels
Thèses et mémoires dirigés / 2011-12
Lacasse, Marc-André
Abstract
Abstract
Ce mémoire s'emploie à étudier les corps quadratiques réels ainsi qu'un élément particulier de tels corps quadratiques réels : l'unité fondamentale. Pour ce faire, le mémoire commence par présenter le plus clairement possible les connaissances sur différents sujets qui sont essentiels à la compréhension des calculs et des résultats de ma recherche. On introduit d'abord les corps quadratiques ainsi que l'anneau de ses entiers algébriques et on décrit ses unités. On parle ensuite des fractions continues puisqu'elles se retrouvent dans un algorithme de calcul de l'unité fondamentale. On traite ensuite des formes binaires quadratiques et de la formule du nombre de classes de Dirichlet, laquelle fait intervenir l'unité fondamentale en fonction d'autres variables. Une fois cette tâche accomplie, on présente nos calculs et nos résultats. Notre recherche concerne la répartition des unités fondamentales des corps quadratiques réels, la répartition des unités des corps quadratiques réels et les moments du logarithme de l'unité fondamentale. (Le logarithme de l'unité fondamentale est appelé le régulateur.)
Irrégularités dans la distribution des nombres premiers et des suites plus générales dans les progressions arithmétiques
Thèses et mémoires dirigés / 2011-08
Fiorilli, Daniel
Abstract
Abstract
Le sujet principal de cette thèse est la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, c'est-à-dire des nombres premiers de la forme $qn+a$, avec $a$ et $q$ des entiers fixés et $n=1,2,3,\dots$ La thèse porte aussi sur la comparaison de différentes suites arithmétiques par rapport à leur comportement dans les progressions arithmétiques. Elle est divisée en quatre chapitres et contient trois articles.
Le premier chapitre est une invitation à la théorie analytique des nombres, suivie d'une revue des outils qui seront utilisés plus tard. Cette introduction comporte aussi certains résultats de recherche, que nous avons cru bon d'inclure au fil du texte.
Le deuxième chapitre contient l'article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number
race: an asymptotic formula for the densities}, qui est le fruit de recherche conjointe avec le professeur Greg Martin. Le but de cet article est d'étudier un phénomène appelé le <>, qui s'observe dans les <>. Chebyshev a observé qu'il semble y avoir plus de premiers de la forme $4n+3$ que de la forme $4n+1$. De manière plus générale, Rubinstein et Sarnak ont montré l'existence d'une quantité $\delta(q;a,b)$, qui désigne la probabilité d'avoir plus de premiers de la forme $qn+a$ que de la forme $qn+b$. Dans cet article nous prouvons une formule asymptotique pour $\delta(q;a,b)$ qui peut être d'un ordre de précision arbitraire (en terme de puissance négative de $q$). Nous présentons aussi des résultats numériques qui supportent nos formules.
Le troisième chapitre contient l'article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. Le but est de fixer un entier $a\neq 0$ et ensuite d'étudier la répartition des premiers de la forme $qn+a$, en moyenne sur $q$. Nous montrons que l'entier $a$ fixé au départ a une grande influence sur cette répartition, et qu'il existe en fait certaines progressions arithmétiques contenant moins de premiers que d'autres. Ce phénomène est plutôt surprenant, compte tenu du théorème des premiers dans les progressions arithmétiques qui stipule que les premiers sont équidistribués dans les classes d'équivalence $\bmod q$.
Le quatrième chapitre contient l'article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. Dans cet article on s'intéresse à des irrégularités similaires à celles observées au troisième chapitre, mais pour des suites arithmétiques plus générales. En effet, nous étudions des suites telles que les entiers s'exprimant comme la somme de deux carrés, les valeurs d'une forme quadratique binaire, les $k$-tuplets de premiers et les entiers sans petit facteur premier. Nous démontrons que dans chacun de ces exemples, ainsi que dans une grande classe de suites arithmétiques, il existe des irrégularités dans les progressions arithmétiques $a\bmod q$, avec $a$ fixé et en moyenne sur $q$.
Strings of congruent primes in short intervals
Thèses et mémoires dirigés / 2010-11
Freiberg, Tristan
Abstract
Abstract
Soit $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5,\ldots$ la suite des nombres premiers, et soient $q \ge 3$ et $a$ des entiers premiers entre eux. R\'ecemment, Daniel Shiu a d\'emontr\'e une ancienne conjecture de Sarvadaman Chowla. Ce dernier a conjectur\'e qu'il existe une infinit\'e de couples $p_n,p_{n+1}$ de premiers cons\'ecutifs tels que $p_n \equiv p_{n+1} \equiv a \bmod q$. Fixons $\epsilon > 0$. Une r\'ecente perc\'ee majeure, de Daniel Goldston, J\`anos Pintz et Cem Y{\i}ld{\i}r{\i}m, a \'et\'e de d\'emontrer qu'il existe une suite de nombres r\'eels $x$ tendant vers l'infini, tels que l'intervalle $(x,x+\epsilon\log x]$ contienne au moins deux nombres premiers $\equiv a \bmod q$. \'Etant donn\'e un couple de nombres premiers $\equiv a \bmod q$ dans un tel intervalle, il pourrait exister un nombre premier compris entre les deux qui n'est pas $\equiv a \bmod q$. On peut d\'eduire que soit il existe une suite de r\'eels $x$ tendant vers l'infini, telle que $(x,x+\epsilon\log x]$ contienne un triplet $p_n,p_{n+1},p_{n+2}$ de nombres premiers cons\'ecutifs, soit il existe une suite de r\'eels $x$, tendant vers l'infini telle que l'intervalle $(x,x+\epsilon\log x]$ contienne un couple $p_n,p_{n+1}$ de nombres premiers tel que $p_n \equiv p_{n+1} \equiv a \bmod q$. On pense que les deux \'enonc\'es sont vrais, toutefois on peut seulement d\'eduire que l'un d'entre eux est vrai, sans savoir lequel.
Dans la premi\`ere partie de cette th\`ese, nous d\'emontrons que le deuxi\`eme \'enonc\'e est vrai, ce qui fournit une nouvelle d\'emonstration de la conjecture de Chowla. La preuve combine des id\'ees de Shiu et de Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m, donc on peut consid\'erer que ce r\'esultat est une application de leurs m\'thodes. Ensuite, nous fournirons des bornes inf\'erieures pour le nombre de couples $p_n,p_{n+1}$ tels que $p_n \equiv p_{n+1} \equiv a \bmod q$, $p_{n+1} - p_n < \epsilon\log p_n$, avec $p_{n+1} \le Y$.
Sous l'hypoth\`ese que $\theta$, le \og niveau de distribution \fg{} des nombres premiers, est plus grand que $1/2$, Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m ont r\'eussi \`a d\'emontrer que $p_{n+1} - p_n \ll_{\theta} 1$ pour une infinit\'e de couples $p_n,p_{n+1}$. Sous la meme hypoth\`ese, nous d\'emontrerons que $p_{n+1} - p_n \ll_{q,\theta} 1$ et $p_n \equiv p_{n+1} \equiv a \bmod q$ pour une infinit\'e de couples $p_n,p_{n+1}$, et nous prouverons \'egalement un r\'esultat quantitatif.
Dans la deuxi\`eme partie, nous allons utiliser les techniques de Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m pour d\'emontrer qu'il existe une infinit\'e de couples de nombres premiers $p,p'$ tels que $(p-1)(p'-1)$ est une carr\'e parfait. Ce resultat est une version approximative d'une ancienne conjecture qui stipule qu'il existe une infinit\'e de nombres premiers $p$ tels que $p-1$ est une carr\'e parfait. En effet, nous d\'emontrerons une borne inf\'erieure sur le nombre d'entiers naturels $n \le Y$ tels que $n = \ell_1\cdots \ell_r$, avec $\ell_1,\ldots,\ell_r$ des premiers distincts, et tels que $(\ell_1-1)\cdots (\ell_r-1)$ est une puissance $r$-i\`eme, avec $r \ge 2$ quelconque. \'Egalement, nous d\'emontrerons une borne inf\'erieure sur le nombre d'entiers naturels $n = \ell_1\cdots \ell_r \le Y$ tels que $(\ell_1+1)\cdots (\ell_r+1)$ est une puissance $r$-i\`eme. Finalement, \'etant donn\'e $A$ un ensemble fini d'entiers non-nuls, nous d\'emontrerons une borne inf\'erieure sur le nombre d'entiers naturels $n \le Y$ tels que $\prod_{p \mid n} (p+a)$ est une puissance $r$-i\`eme, simultan\'ement pour chaque $a \in A$.
Sur la distribution des valeurs de la fonction zêta de Riemann et des fonctions L au bord de la bande critque
Thèses et mémoires dirigés / 2009
Lamzouri, Youness
Abstract
Abstract
Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.
Distribution of sums of the Legendre symbol
Thèses et mémoires dirigés / 2005
Mehkari, Sana
Abstract
Abstract
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.
Projets de recherche Tout déplier Tout replier
Modélisation des défis émergents FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2024 - 2028
Questions in number theory CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2023 - 2029
Simons CRM Scholars Program Simons Foundation / 2023 - 2026
Centre de recherches mathématiques (CRM) FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2022 - 2029
Centre de recherches mathématiques (CRM) CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2022 - 2027
Statistiques de tordues cubiques de fonctions L et d'autres familles FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2021 - 2025
Developing an alternative approach to analytic number theory CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2018 - 2024
Chaire du Canada - Number theory SPIIE/Secrétariat des programmes interorganismes à lintention des établissements / 2016 - 2025
CENTRE DE RECHERCHES MATHEMATIQUES (CRM) FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2015 - 2023
THE CRM : 50 YEARS OF SHAPING MATHEMATICAL SCIENCES IN CANADA CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2014 - 2023
THE CRM : 50 YEARS OF SHAPING MATHEMATICAL SCIENCES IN CANADA CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2014 - 2022
COMPUTER EQUIPMENT FOR THE RESEARCH OF THE CANADA RESEARCH CHAIR IN NUMBER THEORY AND HIS TEAM FCI/Fondation canadienne pour l'innovation / 2013 - 2016
COMPUTATIONAL RESOURCES FOR RESEARCH IN MATHEMATICS AND STATISTICS CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2013 - 2015
DISTRIBUTION DE ZEROS DE FAMILLES DES COURBES SUR DES CORPS FINIS ET COURBES DE ARTIN-SCHREIER FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2012 - 2016
TOPICS IN ANALYTIC NUMBER THEORY AND BEYOND / 2011 - 2015
CHAIRE DE RECHERCHE DU CANADA - NUMBER THEORY SPIIE/Secrétariat des programmes interorganismes à lintention des établissements / 2009 - 2016
CENTRE DE RECHERCHES MATHEMATIQUES (CRM) FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2008 - 2016
CRM'S MAJOR 5-YEAR PLAN : INVESTING IN PEOPLE AND INTELLECTUAL CAPACITIES, SUPPORTING CUTTING EDGE MATHEMATICAL RESEARCH, EXCEPTIONAL NEW OPPORTUNITIES, PARTNERSHIPS AND SYNERGIES CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2008 - 2015
TOPICS IN ANALYTIC NUMBER THEORY AND BEYOND CRSNG/Conseil de recherches en sciences naturelles et génie du Canada (CRSNG) / 2002 - 2019
Publications choisies Tout déplier Tout replier
Densité des friables
de La Bretèche, Régis et Granville, Andrew, Densité des friables 142, 303--348 (2014), , Bull. Soc. Math. France
Multiplicative functions in arithmetic progressions
Balog, Antal, Granville, Andrew et Soundararajan, Kannan, Multiplicative functions in arithmetic progressions 37, 3--30 (2013), , Ann. Math. Qué.
It's as easy as ``abc''
with Tom Tucker, It's as easy as ``abc'' , (2012), , Notices of the American Mathematical Society
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Zeta functions for ideal classes in real quadratic fields, at $s=0$
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Errata to: ``The distribution of values of $L(1,\chi_d)$''
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The first case of Fermat's last theorem is true for all prime exponents up to $714,591,416,091,389$
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Prix et distinctions
- Société royale du Canada Société royale du Canada : Les Académies des arts, des lettres et des sciences du Canada, 2006
