Passer au contenu

/ Département de mathématiques et de statistique

Rechercher

 

Broer, Abraham

Vcard

Professeur titulaire

Faculté des arts et des sciences - Département de mathématiques et de statistique

André-Aisenstadt local 6190

514 343-2053

Courriels

Affiliations

  • Membre - CRM — Centre de recherches mathématiques

Cours donnés

  • MAT1500 A - Mathématiques discrètes

Expertises

Mes recherches portent sur les groupes algébriques de transformation et la théorie des invariants. 
Présentement je m'intéresse aux variétés algébriques qui sont liées à la théorie des représentations des groupes de Lie semi- simples. Quelques exemples sont les variétés des éléments nilpotents dans une algèbre de Lie et le fibré cotangent d'une variété de drapeaux. Pour l'étude de ces variétés on a besoin de la géométrie algébrique, de l'algèbre commutative et de la théorie des algèbres et groupes de Lie; j'utilise un ordinateur pour faire des calculs symboliques. 
Les liens entre la théorie des représentations et la géométrie algébrique sont profonds et très beaux, et tous les ans on découvre encore de nouvelle connexions intéressantes.

Encadrement Tout déplier Tout replier

Variétés de drapeaux et opérateurs différentiels Thèses et mémoires dirigés / 2009-11
Jauffret, Colin
Abstract
Soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps de caractéristique 0. Ce mémoire discute d'un théorème d'annulation de la cohomologie supérieure du faisceau D des opérateurs différentiels sur une variété de drapeaux de G. On démontre que si P est un sous-groupe parabolique de G, alors H^i(G/P,D)=0 pour tout i>0. On donne en fait trois preuves indépendantes de ce théorème. La première preuve est de Hesselink et n'est valide que dans le cas où le sous-groupe parabolique est un sous-groupe de Borel. Elle utilise un argument de suites spectrales et le théorème de Borel-Weil-Bott. La seconde preuve est de Kempf et n'est valide que dans le cas où le radical unipotent de P agit trivialement sur son algèbre de Lie. Elle n'utilise que le théorème de Borel-Weil-Bott. Enfin, la troisième preuve est attribuée à Elkik. Elle est valide pour tout sous-groupe parabolique mais utilise le théorème de Grauert-Riemenschneider. On présente aussi une construction détaillée du faisceau des opérateurs différentiels sur une variété.

Surfaces de Riemann compactes et formule de trace d'Eichler Thèses et mémoires dirigés / 2010-01
De Benedictis, Sonia
Abstract
Dans ce mémoire, nous étudierons quelques propriétés algébriques, géométriques et topologiques des surfaces de Riemann compactes. Deux grand sujets seront traités. Tout d'abord, en utilisant le fait que toute surface de Riemann compacte de genre g plus grand ou égal à 2 possède un nombre fini de points de Weierstrass, nous allons pouvoir conclure que ces surfaces possèdent un nombre fini d'automorphismes. Ensuite, nous allons étudier de plus près la formule de trace d'Eichler. Ce théorème nous permet de trouver le caractère d'un automorphisme agissant sur l'espace des q-différentielles holomorphes. Nous commencerons notre étude en utilisant la quartique de Klein. Nous effectuerons un exemple de calcul utilisant le théorème d'Eichler, ce qui nous permettra de nous familiariser avec l'énoncé du théorème. Finalement, nous allons démontrer la formule de trace d'Eichler, en prenant soin de traiter le cas où l'automorphisme agit sans point fixe séparément du cas où l'automorphisme possède des points fixes.

Quotients d'une variété algébrique par un groupe algébrique linéairement réductif et ses sous-groupes maximaux unipotents Thèses et mémoires dirigés / 2010-01
Sirois-Miron, Robin
Abstract
La construction d'un quotient, en topologie, est relativement simple; si $G$ est un groupe topologique agissant sur un espace topologique $X$, on peut considérer l'application naturelle de $X$ dans $X/G$, l'espace d'orbites muni de la topologie quotient. En géométrie algébrique, malheureusement, il n'est généralement pas possible de munir l'espace d'orbites d'une structure de variété. Dans le cas de l'action d'un groupe linéairement réductif $G$ sur une variété projective $X$, la théorie géométrique des invariants nous permet toutefois de construire un morphisme de variété d'un ouvert $U$ de $X$ vers une variété projective $X//U$, se rapprochant autant que possible d'une application quotient, au sens topologique du terme. Considérons par exemple $Xsubseteq P^{n}$, une $k$-variété projective sur laquelle agit un groupe linéairement réductif $G$ et supposons que cette action soit induite par une action linéaire de $G$ sur $A^{n+1}$. Soit $widehat{X}subseteq A^{n+1}$, le cône affine au dessus de $X$. Par un théorème de la théorie classique des invariants, il existe alors des invariants homogènes $f_{1},...,f_{r}in C[widehat{X}]^{G}$ tels que $$C[widehat{X}]^{G}= C[f_{1},...,f_{r}].$$ On appellera le nilcone, que l'on notera $N$, la sous-variété de $X$ définie par le locus des invariants $f_{1},...,f_{r}$. Soit $Proj(C[widehat{X}]^{G})$, le spectre projectif de l'anneau des invariants. L'application rationnelle $$pi:Xdashrightarrow Proj(C[f_{1},...,f_{r}])$$ induite par l'inclusion de $C[widehat{X}]^{G}$ dans $C[widehat{X}]$ est alors surjective, constante sur les orbites et sépare les orbites autant qu'il est possible de le faire; plus précisément, chaque fibre contient exactement une orbite fermée. Pour obtenir une application régulière satisfaisant les mêmes propriétés, il est nécessaire de jeter les points du nilcone. On obtient alors l'application quotient $$pi:Xackslash N ightarrow Proj(C[f_{1},...,f_{r}]).$$ Le critère de Hilbert-Mumford, dû à Hilbert et repris par Mumford près d'un demi-siècle plus tard, permet de décrire $N$ sans connaître les $f_{1},...,f_{r}$. Ce critère est d'autant plus utile que les générateurs de l'anneau des invariants ne sont connus que dans certains cas particuliers. Malgré les applications concrètes de ce théorème en géométrie algébrique classique, les démonstrations que l'on en trouve dans la littérature sont généralement données dans le cadre peu accessible des schémas. L'objectif de ce mémoire sera, entre autres, de donner une démonstration de ce critère en utilisant autant que possible les outils de la géométrie algébrique classique et de l'algèbre commutative. La version que nous démontrerons est un peu plus générale que la version originale de Hilbert cite{hilbert} et se retrouve, par exemple, dans cite{kempf}. Notre preuve est valide sur $C$ mais pourrait être généralisée à un corps $k$ de caractéristique nulle, pas nécessairement algébriquement clos. Dans la seconde partie de ce mémoire, nous étudierons la relation entre la construction précédente et celle obtenue en incluant les covariants en plus des invariants. Nous démontrerons dans ce cas un critère analogue au critère de Hilbert-Mumford (Théorème 6.3.2). C'est un théorème de Brion pour lequel nous donnerons une version un peu plus générale. Cette version, de même qu'une preuve simplifiée d'un théorème de Grosshans (Théorème 6.1.7), sont les éléments de ce mémoire que l'on ne retrouve pas dans la littérature.

Le théorème de Borel-Weil-Bott Thèses et mémoires dirigés / 2008
Ascah-Coallier, Isabelle
Abstract
Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Cohomologie de fibrés en droite sur le fibré cotangent de variétés grassmanniennes généralisées Thèses et mémoires dirigés / 2013-04
Ascah-Coallier, Isabelle
Abstract
Cette thèse s'intéresse à la cohomologie de fibrés en droite sur le fibré cotangent de variétés projectives. Plus précisément, pour $G$ un groupe algébrique simple, connexe et simplement connexe, $P$ un sous-groupe maximal de $G$ et $omega$ un générateur dominant du groupe de caractères de $P$, on cherche à comprendre les groupes de cohomologie $H^i(T^*(G/P),mathcal{L})$ où $mathcal{L}$ est le faisceau des sections d'un fibré en droite sur $T^*(G/P)$. Sous certaines conditions, nous allons montrer qu'il existe un isomorphisme, à graduation près, entre $H^i(T^*(G/P),mathcal{L})$ et $H^i(T^*(G/P),mathcal{L}^{vee})$ Après avoir travaillé dans un contexte théorique, nous nous intéresserons à certains sous-groupes paraboliques en lien avec les orbites nilpotentes. Dans ce cas, l'algèbre de Lie du radical unipotent de $P$, que nous noterons $ Lie$, a une structure d'espace vectoriel préhomogène. Nous pourrons alors déterminer quels cas vérifient les hypothèses nécessaires à la preuve de l'isomorphisme en montrant l'existence d'un $P$-covariant $f$ dans $comp[ Lie]$ et en étudiant ses propriétés. Nous nous intéresserons ensuite aux singularités de la variété affine $V(f)$. Nous serons en mesure de montrer que sa normalisation est à singularités rationnelles.

Problème inverse de Galois : critère de rigidité Thèses et mémoires dirigés / 2014-08
Amalega Bitondo, François
Abstract
Dans ce mémoire, on étudie les extensions galoisiennes finies de C(x). On y démontre le théorème d'existence de Riemann. Les notions de rigidité faible, rigidité et rationalité y sont développées. On y obtient le critère de rigidité qui permet de réaliser certains groupes comme groupes de Galois sur Q. Plusieurs exemples de types de ramification sont construis.

Bounding The Hochschild Cohomological Dimension Thèses et mémoires dirigés / 2014-08
Kratsios, Anastasis
Abstract
Ce mémoire a deux objectifs principaux. Premièrement de développer et interpréter les groupes de cohomologie de Hochschild de basse dimension et deuxièmement de borner la dimension cohomologique des k-algèbres par dessous; montrant que presque aucune k-algèbre commutative est quasi-libre.

Les groupes simples de Conway Thèses et mémoires dirigés / 2002
Côté, Christian
Abstract
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Polynômes de Kazhdan-Lusztig et cohomologie d'intersection des variétés de drapeaux Thèses et mémoires dirigés / 2003
Chênevert, Gabriel
Abstract
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Un invariant clé dans l'évolution de la théorie des noeuds Thèses et mémoires dirigés / 2005
Soucy, Martin
Abstract
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Suites spectrales et exemples d'applications Thèses et mémoires dirigés / 2006
Cyr, Olivier
Abstract
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Projets de recherche Tout déplier Tout replier

Centre de recherches mathematiques (crm) FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2008 - 2016

Algebraic transformation groups and invariant theory FRQNT/Fonds de recherche du Québec - Nature et technologies (FQRNT) / 2008 - 2012

Publications choisis Tout déplier Tout replier

Normal nilpotent varieties in F4

BROER, Abraham, Normal nilpotent varieties in F4 207, pp. (2012), , J. Algebra

Extending the coinvariant theorems of Chevalley, Shephard-Todd, Mitchell, and Springer

Broer, Abraham, Reiner, Victor, Smith, Larry et Webb, Peter, Extending the coinvariant theorems of Chevalley, Shephard-Todd, Mitchell, and Springer 103, 747--785 (2011), , Proc. Lond. Math. Soc. (3)

Invariant theory of abelian transvection groups

Broer, Abraham, Invariant theory of abelian transvection groups 53, 404--411 (2010), , Canad. Math. Bull.

Modules of covariants in modular invariant theory

Broer, Abraham et Chuai, Jianjun, Modules of covariants in modular invariant theory 100, 705--735 (2010), , Proc. Lond. Math. Soc. (3)

Differents in modular invariant theory

Broer, Abraham, Differents in modular invariant theory 11, 551--574 (2006), , Transform. Groups

Hypersurfaces in modular invariant theory

Broer, Abraham, Hypersurfaces in modular invariant theory 306, 576--590 (2006), , J. Algebra

The direct summand property in modular invariant theory

Broer, Abraham, The direct summand property in modular invariant theory 10, 5--27 (2005), , Transform. Groups

Decomposition varieties in semisimple Lie algebras

Broer, Abraham, Decomposition varieties in semisimple Lie algebras 50, 929--971 (1998), , Canad. J. Math.

A vanishing theorem for Dolbeault cohomology of homogeneous vector bundles

Broer, Abraham, A vanishing theorem for Dolbeault cohomology of homogeneous vector bundles 493, 153--169 (1997), , J. Reine Angew. Math.

The sum of generalized exponents and Chevalley's restriction theorem for modules of covariants

Broer, Abraham, The sum of generalized exponents and Chevalley's restriction theorem for modules of covariants 6, 385--396 (1995), , Indag. Math. (N.S.)

A new method for calculating Hilbert series

Broer, Bram, A new method for calculating Hilbert series 168, 43--70 (1994), , J. Algebra

Classification of Cohen-Macaulay modules of covariants for systems of binary forms

Broer, Bram, Classification of Cohen-Macaulay modules of covariants for systems of binary forms 120, 37--45 (1994), , Proc. Amer. Math. Soc.

Line bundles on the cotangent bundle of the flag variety

Broer, Bram, Line bundles on the cotangent bundle of the flag variety 113, 1--20 (1993), , Invent. Math.

On the generating functions associated to a system of binary forms

Broer, Bram, On the generating functions associated to a system of binary forms 1, 15--25 (1990), , Indag. Math. (N.S.)