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# Granville, Andrew Professeur titulaire

Faculté des arts et des sciences - Département de mathématiques et de statistique

514 343-6583

### Affiliations

• Membre - CRM  Centre de recherches mathématiques

### Cours donnés

• MAT3632 A - Théorie des nombres

### Expertise

Strings of congruent primes in short intervals Thèses et mémoires dirigés / 2010-11
Freiberg, Tristan
Abstract
Soit $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5,ldots$ la suite des nombres premiers, et soient $q ge 3$ et $a$ des entiers premiers entre eux. R'ecemment, Daniel Shiu a d'emontr'e une ancienne conjecture de Sarvadaman Chowla. Ce dernier a conjectur'e qu'il existe une infinit'e de couples $p_n,p_{n+1}$ de premiers cons'ecutifs tels que $p_n equiv p_{n+1} equiv a mod q$. Fixons $epsilon > 0$. Une r'ecente perc'ee majeure, de Daniel Goldston, Janos Pintz et Cem Y{i}ld{i}r{i}m, a 'et'e de d'emontrer qu'il existe une suite de nombres r'eels $x$ tendant vers l'infini, tels que l'intervalle $(x,x+epsilonlog x]$ contienne au moins deux nombres premiers $equiv a mod q$. 'Etant donn'e un couple de nombres premiers $equiv a mod q$ dans un tel intervalle, il pourrait exister un nombre premier compris entre les deux qui n'est pas $equiv a mod q$. On peut d'eduire que soit il existe une suite de r'eels $x$ tendant vers l'infini, telle que $(x,x+epsilonlog x]$ contienne un triplet $p_n,p_{n+1},p_{n+2}$ de nombres premiers cons'ecutifs, soit il existe une suite de r'eels $x$, tendant vers l'infini telle que l'intervalle $(x,x+epsilonlog x]$ contienne un couple $p_n,p_{n+1}$ de nombres premiers tel que $p_n equiv p_{n+1} equiv a mod q$. On pense que les deux 'enonc'es sont vrais, toutefois on peut seulement d'eduire que l'un d'entre eux est vrai, sans savoir lequel. Dans la premiere partie de cette these, nous d'emontrons que le deuxieme 'enonc'e est vrai, ce qui fournit une nouvelle d'emonstration de la conjecture de Chowla. La preuve combine des id'ees de Shiu et de Goldston-Pintz-Y{i}ld{i}r{i}m, donc on peut consid'erer que ce r'esultat est une application de leurs m'thodes. Ensuite, nous fournirons des bornes inf'erieures pour le nombre de couples $p_n,p_{n+1}$ tels que $p_n equiv p_{n+1} equiv a mod q$, $p_{n+1} - p_n < epsilonlog p_n$, avec $p_{n+1} le Y$. Sous l'hypothese que $heta$, le og niveau de distribution fg{} des nombres premiers, est plus grand que $1/2$, Goldston-Pintz-Y{i}ld{i}r{i}m ont r'eussi a d'emontrer que $p_{n+1} - p_n ll_{ heta} 1$ pour une infinit'e de couples $p_n,p_{n+1}$. Sous la meme hypothese, nous d'emontrerons que $p_{n+1} - p_n ll_{q, heta} 1$ et $p_n equiv p_{n+1} equiv a mod q$ pour une infinit'e de couples $p_n,p_{n+1}$, et nous prouverons 'egalement un r'esultat quantitatif. Dans la deuxieme partie, nous allons utiliser les techniques de Goldston-Pintz-Y{i}ld{i}r{i}m pour d'emontrer qu'il existe une infinit'e de couples de nombres premiers $p,p'$ tels que $(p-1)(p'-1)$ est une carr'e parfait. Ce resultat est une version approximative d'une ancienne conjecture qui stipule qu'il existe une infinit'e de nombres premiers $p$ tels que $p-1$ est une carr'e parfait. En effet, nous d'emontrerons une borne inf'erieure sur le nombre d'entiers naturels $n le Y$ tels que $n = ell_1cdots ell_r$, avec $ell_1,ldots,ell_r$ des premiers distincts, et tels que $(ell_1-1)cdots (ell_r-1)$ est une puissance $r$-ieme, avec $r ge 2$ quelconque. 'Egalement, nous d'emontrerons une borne inf'erieure sur le nombre d'entiers naturels $n = ell_1cdots ell_r le Y$ tels que $(ell_1+1)cdots (ell_r+1)$ est une puissance $r$-ieme. Finalement, 'etant donn'e $A$ un ensemble fini d'entiers non-nuls, nous d'emontrerons une borne inf'erieure sur le nombre d'entiers naturels $n le Y$ tels que $prod_{p mid n} (p+a)$ est une puissance $r$-ieme, simultan'ement pour chaque $a in A$.

Irrégularités dans la distribution des nombres premiers et des suites plus générales dans les progressions arithmétiques Thèses et mémoires dirigés / 2011-08
Fiorilli, Daniel
Abstract
Le sujet principal de cette thèse est la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, c'est-à-dire des nombres premiers de la forme $qn+a$, avec $a$ et $q$ des entiers fixés et $n=1,2,3,dots$ La thèse porte aussi sur la comparaison de différentes suites arithmétiques par rapport à leur comportement dans les progressions arithmétiques. Elle est divisée en quatre chapitres et contient trois articles. Le premier chapitre est une invitation à la théorie analytique des nombres, suivie d'une revue des outils qui seront utilisés plus tard. Cette introduction comporte aussi certains résultats de recherche, que nous avons cru bon d'inclure au fil du texte. Le deuxième chapitre contient l'article emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, qui est le fruit de recherche conjointe avec le professeur Greg Martin. Le but de cet article est d'étudier un phénomène appelé le <<Biais de Chebyshev>>, qui s'observe dans les <<courses de nombres premiers>>. Chebyshev a observé qu'il semble y avoir plus de premiers de la forme $4n+3$ que de la forme $4n+1$. De manière plus générale, Rubinstein et Sarnak ont montré l'existence d'une quantité $delta(q;a,b)$, qui désigne la probabilité d'avoir plus de premiers de la forme $qn+a$ que de la forme $qn+b$. Dans cet article nous prouvons une formule asymptotique pour $delta(q;a,b)$ qui peut être d'un ordre de précision arbitraire (en terme de puissance négative de $q$). Nous présentons aussi des résultats numériques qui supportent nos formules. Le troisième chapitre contient l'article emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. Le but est de fixer un entier $a eq 0$ et ensuite d'étudier la répartition des premiers de la forme $qn+a$, en moyenne sur $q$. Nous montrons que l'entier $a$ fixé au départ a une grande influence sur cette répartition, et qu'il existe en fait certaines progressions arithmétiques contenant moins de premiers que d'autres. Ce phénomène est plutôt surprenant, compte tenu du théorème des premiers dans les progressions arithmétiques qui stipule que les premiers sont équidistribués dans les classes d'équivalence $mod q$. Le quatrième chapitre contient l'article emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. Dans cet article on s'intéresse à des irrégularités similaires à celles observées au troisième chapitre, mais pour des suites arithmétiques plus générales. En effet, nous étudions des suites telles que les entiers s'exprimant comme la somme de deux carrés, les valeurs d'une forme quadratique binaire, les $k$-tuplets de premiers et les entiers sans petit facteur premier. Nous démontrons que dans chacun de ces exemples, ainsi que dans une grande classe de suites arithmétiques, il existe des irrégularités dans les progressions arithmétiques $amod q$, avec $a$ fixé et en moyenne sur $q$.

Sur la répartition des unités dans les corps quadratiques réels Thèses et mémoires dirigés / 2011-12
Lacasse, Marc-André
Abstract
Ce mémoire s'emploie à étudier les corps quadratiques réels ainsi qu'un élément particulier de tels corps quadratiques réels : l'unité fondamentale. Pour ce faire, le mémoire commence par présenter le plus clairement possible les connaissances sur différents sujets qui sont essentiels à la compréhension des calculs et des résultats de ma recherche. On introduit d'abord les corps quadratiques ainsi que l'anneau de ses entiers algébriques et on décrit ses unités. On parle ensuite des fractions continues puisqu'elles se retrouvent dans un algorithme de calcul de l'unité fondamentale. On traite ensuite des formes binaires quadratiques et de la formule du nombre de classes de Dirichlet, laquelle fait intervenir l'unité fondamentale en fonction d'autres variables. Une fois cette tâche accomplie, on présente nos calculs et nos résultats. Notre recherche concerne la répartition des unités fondamentales des corps quadratiques réels, la répartition des unités des corps quadratiques réels et les moments du logarithme de l'unité fondamentale. (Le logarithme de l'unité fondamentale est appelé le régulateur.)

Les progressions arithmétiques dans les nombres entiers Thèses et mémoires dirigés / 2012-02
Poirier, Antoine
Abstract
Le sujet de cette thèse est l'étude des progressions arithmétiques dans les nombres entiers. Plus précisément, nous nous intéressons à borner inférieurement v(N), la taille du plus grand sous-ensemble des nombres entiers de 1 à N qui ne contient pas de progressions arithmétiques de 3 termes. Nous allons donc construire de grands sous-ensembles de nombres entiers qui ne contiennent pas de telles progressions, ce qui nous donne une borne inférieure sur v(N). Nous allons d'abord étudier les preuves de toutes les bornes inférieures obtenues jusqu'à présent, pour ensuite donner une autre preuve de la meilleure borne. Nous allons considérer les points à coordonnés entières dans un anneau à d dimensions, et compter le nombre de progressions arithmétiques qu'il contient. Pour obtenir des bornes sur ces quantités, nous allons étudier les méthodes pour compter le nombre de points de réseau dans des sphères à plusieurs dimensions, ce qui est le sujet de la dernière section.

Sur la distribution des valeurs de la fonction zêta de Riemann et des fonctions L au bord de la bande critque Thèses et mémoires dirigés / 2009
Lamzouri, Youness
Abstract
Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

The distribution of k-tuples of reduced residues Thèses et mémoires dirigés / 2012-08
Abstract
En 1940, Paul Erd?s énonça une conjecture sur la distribution des classes inversibles modulo un entier. La présente thèse étudie la distribution des k-uplets de classes inversibles propose une preuve de la conjecture d'Erd?s étendue au cas des k-uplets.

On some Density Theorems in Number Theory and Group Theory Thèses et mémoires dirigés / 2012-08
Abstract
Gowers, dans son article sur les matrices quasi-aléatoires, étudie la question, posée par Babai et Sos, de l'existence d'une constante $c>0$ telle que tout groupe fini possède un sous-ensemble sans produit de taille supérieure ou égale a $c|G|$. En prouvant que, pour tout nombre premier $p$ assez grand, le groupe $PSL_2(mathbb{F}_p)$ (d'ordre noté $n$) ne posséde aucun sous-ensemble sans produit de taille $c n^{8/9}$, il y répond par la négative. Nous allons considérer le probléme dans le cas des groupes compacts finis, et plus particuliérement des groupes profinis $SL_k(mathbb{Z}_p)$ et $Sp_{2k}(mathbb{Z}_p)$. La premiére partie de cette thése est dédiée à l'obtention de bornes inférieures et supérieures exponentielles pour la mesure suprémale des ensembles sans produit. La preuve nécessite d'établir préalablement une borne inférieure sur la dimension des représentations non-triviales des groupes finis $SL_k(mathbb{Z}/(p^nmathbb{Z}))$ et $Sp_{2k}(mathbb{Z}/(p^nmathbb{Z}))$. Notre théoréme prolonge le travail de Landazuri et Seitz, qui considérent le degré minimal des représentations pour les groupes de Chevalley sur les corps finis, tout en offrant une preuve plus simple que la leur. La seconde partie de la thése à trait à la théorie algébrique des nombres. Un polynome monogéne $f$ est un polynome unitaire irréductible à coefficients entiers qui endengre un corps de nombres monogéne. Pour un nombre premier $q$ donné, nous allons montrer, en utilisant le théoréme de densité de Tchebotariov, que la densité des nombres premiers $p$ tels que $t^q -p$ soit monogéne est supérieure ou égale à $(q-1)/q$. Nous allons également démontrer que, quand $q=3$, la densité des nombres premiers $p$ tels que $mathbb{Q}(sqrt{p})$ soit non monogéne est supérieure ou égale à $1/9$.

Formes quadratiques ternaires représantant tous les entiers impairs Thèses et mémoires dirigés / 2013-11
Bujold, Crystel
Abstract
Les calculs numériques ont été effectués à l'aide du logiciel SAGE.

Structures linéaires dans les ensembles à faible densité Thèses et mémoires dirigés / 2014-07
Henriot, Kevin
Abstract
Réalisé en cotutelle avec l'Université Paris-Diderot.

L'Approximation diophantienne simultanée et l'optimisation discrète Thèses et mémoires dirigés / 2014-12
Rodriguez Caballero, José Manuel
Abstract
Étant donnée une fonction bornée (supérieurement ou inférieurement) $f:mathbb{N}^k To Real$ par une expression mathématique, le problème de trouver les points extrémaux de $f$ sur chaque ensemble fini $S subset mathbb{N}^k$ est bien défini du point de vu classique. Du point de vue de la théorie de la calculabilité néanmoins il faut éviter les cas pathologiques où ce problème a une complexité de Kolmogorov infinie. La principale restriction consiste à définir l'ordre, parce que la comparaison entre les nombres réels n'est pas décidable. On résout ce problème grâce à une structure qui contient deux algorithmes, un algorithme d'analyse réelle récursive pour évaluer la fonction-coût en arithmétique à précision infinie et un autre algorithme qui transforme chaque valeur de cette fonction en un vecteur d'un espace, qui en général est de dimension infinie. On développe trois cas particuliers de cette structure, un de eux correspondant à la méthode d'approximation de Rauzy. Finalement, on établit une comparaison entre les meilleures approximations diophantiennes simultanées obtenues par la méthode de Rauzy (selon l'interprétation donnée ici) et une autre méthode, appelée tétraédrique, que l'on introduit à partir de l'espace vectoriel engendré par les logarithmes de nombres premiers.

Dénombrement dans les empilements apolloniens généralisés et distribution angulaire dans les extensions quadratiques imaginaires Thèses et mémoires dirigés / 2015-07
Dias, Dimitri
Abstract
Cette thèse traite de deux thèmes principaux. Le premier concerne l'étude des empilements apolloniens généralisés de cercles et de sphères. Généralisations des classiques empilements apolloniens, dont l'étude remonte à la Grèce antique, ces objets s'imposent comme particulièrement attractifs en théorie des nombres. Dans cette thèse sera étudié l'ensemble des courbures (les inverses des rayons) des cercles ou sphères de tels empilements. Sous de bonnes conditions, ces courbures s'avèrent être toutes entières. Nous montrerons qu'elles vérifient un principe local-global partiel, nous compterons le nombre de cercles de courbures plus petites qu'une quantité donnée et nous nous intéresserons également à l'étude des courbures premières. Le second thème a trait à la distribution angulaire des idéaux (ou plutôt ici des nombres idéaux) des corps de nombres quadratiques imaginaires (que l'on peut voir comme la distribution des points à coordonnées entières sur des ellipses). Nous montrerons que la discrépance de l'ensemble des angles des nombres idéaux entiers de norme donnée est faible et nous nous intéresserons également au problème des écarts bornés entre les premiers d'extensions quadratiques imaginaires dans des secteurs.

Distribution of sums of the Legendre symbol Thèses et mémoires dirigés / 2005
Mehkari, Sana
Abstract
Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

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#### Harald Cramér and the distribution of prime numbers

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### Prix et distinctions 