La mesure de Mahler (logarithmique) de P, une fonction rationnelle non nulle à n variables, est définie comme la moyenne arithmétique de log |P| restreinte au tore n-dimensionnel standard (T^n = {(x_1, ..., x_n) ∈ (C*)^n: |x_i| = 1, for all 1 ≤ i ≤ n}) par rapport à la mesure de Haar unique (mesure d'arc normalisée) sur T^n. Elle a des liens avec les hauteurs, les volumes hyperboliques, la dynamique arithmétique et les valeurs spéciales des fonctions L. Il existe plusieurs généralisations de cette définition dans la littérature. Cette thèse se consacre à l'exploration de deux de ces généralisations : premièrement, lorsque le tore unité est remplacé par un tore à rayons arbitraires (T_{a_1, ..., a_n})^n = {(x_1, ..., x_n) ∈ (C*)^n: |x_i| = a_i, for all 1 ≤ i ≤ n} (appelée \textit{mesure de Mahler généralisée}), et deuxièmement, lorsque la mesure d'arc normalisée sur le tore unité est remplacée par la mesure d'aire normalisée sur le disque unité (appelée \textit{mesure de Mahler aréale}). Notre objectif principal est de quantifier le comportement de la mesure de Mahler de $P$ sous de telles modifications. Cette thèse est structurée en cinq projets. 1. Dans le chapitre 1, nous étudions la définition de la mesure de Mahler généralisée pour tous les polynômes de Laurent à n variables lorsqu'ils ne s'annulent pas sur le tore d'intégration. Ce travail a été publié dans [106]. 2. Le chapitre 2 présente des évaluations non triviales de la mesure de Mahler aréale des polynômes à plusieurs variables, définie par Pritsker. Ce travail est réalisé en collaboration avec Lalin, et publié dans [84]. 3. Dans le chapitre 3, nous étudions comment la mesure de Mahler aréale change lorsque l'on effectue un changement de variables par puissance sur les polynômes. Ceci est un travail conjoint avec Lalin, et publié dans [83]. 4. Dans le chapitre 4, nous étudions la mesure de Mahler d'une famille particulière de fonctions rationnelles à un nombre arbitraire de variables et à un degré arbitraire dans l'une des variables. Ce travail est réalisé en collaboration avec Lalín et Nair, et sera publié dans [81]. 5. Le chapitre 5 est consacré à l'évaluation de la mesure de Mahler aréale d'une famille de polynômes en utilisant l'analogue aréal de la mesure de Mahler zêta. Il s'agit d'un travail collaboratif en cours avec Lalin, Nair et Ringeling.

Le présent mémoire traite une variation de la mesure de Mahler où l'intégrale de définition est réalisée sur un tore plus général. Notre travail est basé sur une famille de polynômes tempérée originellement étudiée par Boyd, P_k (x, y) = x + 1/x + y + 1/y + k avec k ∈ R_{>4}. Pour le k = 4 cas, nous utilisons des valeurs spéciales du dilogarithme de Bloch-Wigner pour obtenir la mesure de Mahler de P_4 sur un tore arbitraire (T_ {a, b})^2 = {(x, y) ∈ C* X C* : | x | = a, | y | = b } avec a, b ∈ R_{> 0}. Ensuite, nous établissons une relation entre la mesure de Mahler de P_8 sur un tore (T_ {a, √a} )^2 et sa mesure de Mahler standard. La combinaison de cette relation avec des résultats de Lalin, Rogers et Zudilin conduit à une formule impliquant les mesures de Mahler généralisées de ce polynôme données en termes de L' (E, 0). Au final, nous proposons une stratégie pour prouver des résultats similaires dans le cas général k> 4 sur (T_ {a, b})^2 avec certaines restrictions sur a, b.