Cette thèse explore les aspects arithmétiques des corps de fonctions, considérés comme des analogues des corps de nombres. Nous commençons par théorie classique : anneaux de valuation, places et diviseurs, pour conclure avec le théorème de Riemann–Roch et ses conséquences. Nous étudions ensuite les extensions algébriques de corps de fonctions, notamment les extensions galoisiennes, la formule du genre de Hurwitz et les extensions du corps des constantes, avec une application aux corps de fonctions elliptiques. Une seconde partie développe la théorie des caractères, conduisant à des applications des sommes de Gauss et de Jacobi à la résolution d’équations diophantiennes sur les corps finis. La contribution principale est présentée dans le dernier chapitre : un analogue, pour les corps de fonctions, de résultats portant sur la fonction diviseur et les entiers B-libres. Nous introduisons les polynômes B-libres et établissons des estimations asymptotiques pour la moyenne de la fonction diviseur, généralisant ainsi les résultats de Camargo [dC24] au cadre des corps de fonctions.