Huguet, Guillaume
- Doctorat
-
Faculté des arts et des sciences - Département de mathématiques et de statistique
André-Aisenstadt Local 4237
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Étude d'algorithmes de simulation par chaînes de Markov non réversibles
Thèses et mémoires dirigés / 2020-10
Huguet, Guillaume
Abstract
Abstract
Les méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) utilisent généralement des
chaînes de Markov réversibles. Jusqu’à récemment, une grande partie de la recherche théorique
sur les chaînes de Markov concernait ce type de chaînes, notamment les théorèmes de
Peskun (1973) et de Tierney (1998) qui permettent d’ordonner les variances asymptotiques
de deux estimateurs issus de chaînes réversibles différentes.
Dans ce mémoire nous analysons des algorithmes simulants des chaînes qui ne respectent
pas cette condition. Nous parlons alors de chaînes non réversibles. Expérimentalement, ces
chaînes produisent souvent des estimateurs avec une variance asymptotique plus faible et/ou
une convergence plus rapide. Nous présentons deux algorithmes, soit l’algorithme de marche
aléatoire guidée (GRW) par Gustafson (1998) et l’algorithme de discrete bouncy particle
sampler (DBPS) par Sherlock et Thiery (2017). Pour ces deux algorithmes, nous comparons
expérimentalement la variance asymptotique d’un estimateur avec la variance asymptotique
en utilisant l’algorithme de Metropolis-Hastings.
Récemment, un cadre théorique a été introduit par Andrieu et Livingstone (2019) pour
ordonner les variances asymptotiques d’une certaine classe de chaînes non réversibles. Nous
présentons leur analyse de GRW. De plus, nous montrons que le DBPS est inclus dans
ce cadre théorique. Nous démontrons que la variance asymptotique d’un estimateur peut
théoriquement diminuer en ajoutant des propositions à cet algorithme. Finalement, nous
proposons deux modifications au DBPS.
Tout au long du mémoire, nous serons intéressés par des chaînes issues de propositions
déterministes. Nous montrons comment construire l’algorithme du delayed rejection avec
des fonctions déterministes et son équivalent dans le cadre de Andrieu et Livingstone (2019).