Manipuler les exposants

 

Les règles pour manipuler les exposants (entiers ou fractionnaires) se ramènent toutes à trois. Pour les utiliser correctement, il suffit de bien se rappeler la signification d'un exposant.

Soient a un nombre non nul et n un entier positif. Alors, par définition,

an = a × a × ¼ × a     (n fois),

 

a-1 =   1 a

et

a-n  =  a-1 × a-1 × ¼ × a-1     (n fois).

On convient aussi que

a0 = 1.

Si a est positif, a^1/n désigne l'unique nombre positif qui, multiplié par lui même n fois, donne a:

a1/n × a1/n × ¼ × a1/n  =  a     (n facteurs)

autrement dit

(a1/n) n = a.

(Lorsque n = 2, on écrit souvent Öa pour a^1/2.) Sauf pour des valeurs particulières de a et n comme par exemple a = 9 et n = 2, le calcul numérique de a^1/n requiert l'usage d'une calculatrice.

D'après ces définitions, il est clair que, par exemple,

(a b)3 =  a b a b a b = a a a b b b = a3 b3,

 

a2 a3 = a a  a a a = a5 = a2 + 3

et

(a2)3 = a2 a2 a2 = a a a a a a = a6 = a2 ×3.

Les règles générales sont :

quels que soient a  >  0, b  >  0 et p (pas nécessairement entier)     (a b)p = ap bp

(1)

quels que soient a  >  0, p et q (pas nécessairement entiers)     ap aq  = ap + q

(2)

et

quels que soient a  >  0, p et q (pas nécessairement entiers)     (ap)q = ap q.

(3)

Exemples

• (4 a)^1/2 = 2 a^1/2.

   

• (a² b³)^1/3 = (a²)^1/3 (b³)^1/3 = a^2/3 b.

   

• 5^1/2 5^1/3 = 5^5/6 = 3125^1/6 = 3,82362.

   

• 2³ 2⁷ = 2¹⁰ = 1024.

   

• (2³)⁷ = 2²¹ = 2 097 152.

   

Exercices

1. (16 a² b)^1/2 =

    

2. 10³  10⁵ =

    

3. (10³)⁵ =

    

4. 5^1/3 5^-1/2 =

    

5. 2^1/2 (2/5)^1/2 =

    

6. (a b c)³ =

    

Références

• Pour en savoir plus : http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques 

                                          http://trucsmaths.free.fr/js_racine.htm 

Réponses

4 a b1/2, 108 = 100 000 000, 1015 = 1 000 000 000 000 000, 5-1/6 = 0,764724,   2 51/2 = 0,894427, a3 b3 c3.