Dépendance, valeurs extrêmes multivariée et la gestion du risque

Un problème central en mathématiques financières est la quantification du risque d’une position financière. Ce problème est particulièrement important lorsqu’on considère les pertes extrêmes qui peuvent avoir un impact catas- trophique. Dans cet exposé, je développerai un cadre pour la modélisation et la gestion des pertes extrêmes multivariées dépendantes entre elles. Dans sa forme plus connue, la théorie des valeurs extrêmes traite de la loi limite du maximum M_n = max (X₁, . . . , X_n) standardisé d’une série de variables aléatoires identiquement distribuées (X_i), i ≥ 1. Si ces variables (X_i) sont indépendantes, la loi limite est décrite par le théorème classique de Fisher– Tippett–Gnedenko

lim P [(M_n − b_n)/a_n ≤ x] = H(x),

n→∞

où (a_i), a_i > 0, et (b_i), b_i ∈ R, sont des séries qui stabilisent le maximum et H est la distribution d’une loi d’extremum généralisée. Dans cet exposé, je m’intéresse au cas d’une série de variables qui sont dépendantes, mais je conserve l’hypothèse selon laquelle les (X_i) sont identiquement distribuées. Au contraire de la théorie établie pour le cas d’une série temporelle, le cadre que je présente s’applique aux cas où la dépendance ne diminue pas dans le temps. Dans cette approche j’accentue la connexion entre les maximums et la structure de dépendance dans une cadre asymptotique. Un point capital de mon exposé est la généralisation du théorème classique de Fisher–Tippett–Gnedenko dans ce contexte et, surprenamment, en général les lois asymp- totiques ne font pas partie de la classe des lois d’extremums généralisés. J’illustre ce résultat pour les structures de dépendance populaires, comme la classe archimédienne et archimax. Pour la classe des copules achimédiennes hiérarchiques, ce résultat peut être généralisé au cadre multivarié. La théorie des mesures de risque multivariée peut finalement être utilisée pour trouver la valeur-à-risque optimale pour les pertes extrêmes dans une cadre multivarié.