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/ Département de mathématiques et de statistique

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Nos étudiants aux cycles supérieurs

Faites connaissance avec les étudiants du Département. Vous découvrirez, à travers leurs portraits, les sujets qui les allument, les avenues qu’ils empruntent et leur motivation. Des exemples inspirants!

Nos étudiants aux cycles supérieurs

Charron, Philippe

Vcard

Doctorat

Faculté des arts et des sciences - Département de mathématiques et de statistique

André-Aisenstadt Local

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Expertise

Encadrement Tout déplier Tout replier

Théorème de Pleijel pour l'oscillateur harmonique quantique Thèses et mémoires dirigés / 2015-08
Charron, Philippe
Abstract
L'objectif de ce mémoire est de démontrer certaines propriétés géométriques des fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique. Nous étudierons les domaines nodaux, c'est-à-dire les composantes connexes du complément de l'ensemble nodal. Supposons que les valeurs propres ont été ordonnées en ordre croissant. Selon un théorème fondamental dû à Courant, une fonction propre associée à la $n$-ième valeur propre ne peut avoir plus de $n$ domaines nodaux. Ce résultat a été prouvé initialement pour le laplacien de Dirichlet sur un domaine borné mais il est aussi vrai pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Le théorème a été amélioré par Pleijel en 1956 pour le laplacien de Dirichlet. En effet, on peut donner un résultat asymptotique plus fort pour le nombre de domaines nodaux lorsque les valeurs propres tendent vers l'infini. Dans ce mémoire, nous prouvons un résultat du même type pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Pour ce faire, nous utiliserons une combinaison d'outils classiques de la géométrie spectrale (dont certains ont été utilisés dans la preuve originale de Pleijel) et de plusieurs nouvelles idées, notamment l'application de certaines techniques tirées de la géométrie algébrique et l'étude des domaines nodaux non-bornés.