Mesure et Intégration

La théorie de l'intégration de Lebesgue est une généralisation de la théorie de l'intégration de Riemann. Elle est basée sur le concept de mesure d'un ensemble qui est une extension à la fois de la notion de longueur d'un intervalle réel et de celle de probabilité d'un événement aléatoire. Ce cours constitue une introduction élémentaire rigoureuse et relativement complète à la théorie de la mesure, outil théorique essentiel de l'analyse mathématique et du calcul des probabilités.

Le cours (mesure100) présente d'abord la théorie en une dimension seulement, facilitant ainsi la transition entre l'intégrale de Riemann d'une fonction continue et la théorie abstraite plus générale qui la suit. (Une version (mesure00) du cours où seulement la théorie sur l'axe réel est exposée est d'ailleurs disponible.) Dans la première partie, l'intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue d'une fonction mesurable sur une partie mesurable de l'axe réel est définie et ses propriétés sont présentées. Dans la seconde partie, ces notions sont généralisées et complétées par l'étude des espaces de Lebesgue et celle des théorèmes de Fubini et de Radon-Nikodym, culminant avec la formule du changement de variables dans les intégrales multiples.