MAT 3661


Théorie de Galois


Hiver 2019

Professeure:    Matilde Lalín

Échéancier:    Du 7 janvier au 10 avril, pas de cours le 4 et le 6 mars

            lundi 13h30 - 15h30 4186 Pav. André-Aisenstadt et mercredi 9h30 - 10h30 1175 Pav. André-Aisenstadt

Disponibilités:   lundi 12h30-13h30 et mercredi 10h30-11h30 5145 Pav. André-Aisendstadt

Tel:   (514) 343-6689

couriel:    mlalin at dms . umontreal . ca

Références:    "Abstract Algebra" Chap. 13 et 14, David Dummit et Richard Foote, 3rd edition, Willey and Sons, 2004

Information:


Devoir:

Avis importants:
  • L'évaluation d'enseignement est accessible sur Omnivox jusqu'à le 12 avril 2019. Au moyen d'un questionnaire, chaque étudiant.e est appelé.e à donner son avis sur ses professeur.e.s, ses chargé.e.s de cours, ses auxiliaires d'enseignement et à émettre des suggestions.
  • Les sujets pour l'examen final du 17 avril sont tout dont on a discuté en classe. (Voir les notes des cours 1-8). Une calculatrice simple sera permise à l'examen.
  • Les disponibilités d'ici le 17 avril : mercredi 10 avril 10h30-13h, vendredi 12 avril 9h-15h, lundi 15 avril 9h-14h30
  • L'intra est corrigé. Vous trouverez votre note sur Studium. La moyenne a été 21.36/30. Vous pouvez obtenir de crédit supplémentaire sur les problèmes où vous avez obtenu 4 points ou moins (sur 6). Si vous choississez de reécrire la solution du problème et la soumettre le 13 mars pendant le cours vous obtendrez du crédit comme suit: si votre note originelle a été X et votre nouvelle note est Y (toujours sur 6), vous obtendrez (6-X)/3*Y/6 points de plus sur le problème. Vous pouvez me posser des questions, vous pouvez consulter et même photographier votre examen, mais je ne vous montrerez pas le solutionnaire. Voici l'intra (solutionnaire).
  • Les disponibilités d'ici le 25 février : mercredi 20 février 10h30-14h, jeudi 21 février 13h-16h, vendredi 22 février 9h-12h, lundi 25 février 9h-13h30.
  • Les sujets pour l'examen du 25 février sont tout dont on a discuté en classe jusqu'à le chapitre 13.5 (inclus) de Dummit-Foote (Notes 1-4 du cours, à exception du 13.6, et devoirs 1-3). Il ne faut pas savoir les constructions avec règle graduée (si avec règle non graduée). Il faut savoir les résultats d'anneaux et d'irréductibilité des polynômes dont on a parlé au début de la session.
  • Barème: Devoir (20%), Examen intra (40%), Examen final (40%)
  • Les notes des devoirs 1 et 2 seront calculées comme le maximum entre chaque devoir et l'examen intra. Les notes des devoirs 4 et 5 seront calculées comme le maximum entre chaque devoir et l'examen final.

Dates importantes:
  • Devoir: le 23 janvier, le 6 février, le 20 mars, le 3 avril (en classe).
  • Examen intra: le 25 février, 9h30 - 11h30, 4186 Pav. André-Aisenstadt.
  • Examen final: le 17 avril, 9h30 - 12h30, S1-139 Pav. Jean Coutu.

Thèmes:
  • le 8 avril : 14.7 élément expressible ou résoluble par radicaux, polynôme résoluble par radicaux, extension radicale, groupe résoluble, f(s) résoluble par radicaux ssi Gal(f(x)) résoluble, le groups symétrique S_n n'est pas résoluble pour n>4, l'équation générale de degré n n'est pas résoluble pour n>4. 14.8 Calcul de groupes de Galois sur Q: enoncé que le groupe de Galois de la reduction modulo p de f(x) est un sous-groupe du groupe de Galois de f(x) sur Q.
  • le 3 avril : 14.7 Extensions radicales et résolubles: extension cylique, résolvente de Lagrange, Théorie de Kummer, extensions d'Artin-Schreier, élément expressible ou résoluble par radicaux
  • le 1er avril : 14.6 rappel de propriétés du groupe symétrique et du groupe alterné, discriminant, les cas de degrés 2, 3, 4, le théorème fondamental de l'algèbre, preuve de l'hypothèse de Riemann.
  • le 27 mars : 14.6 groupes de Galois de polynômes, sous-groupes transitifs de S_n, fonctions symétriques élémentaires, polynôme général de degré n, Théorème Fondamental des fonctions symétriques, groupe de Galois du polynôme général de degré n.
  • le 25 mars : 14.4 extensions composées et simples, clôture Galoisienne, extension simple, théorème de l'élément primitif, 14.5 Extensions cyclotomiques et abéliennes, enoncé du théorème inverse de Galois, et du théorème de Kronecker--Weber, applications des extensions cyclotomiques à la construction de polygônes réguliers.
  • le 20 mars : 14.3 corps finis, x^4+1 est réductible modulo p pour tout p, 14.4 extensions composées, plusieurs resultats sur diagrammes "diamant".
  • le 18 mars : 14.2 [K:K^G]=|G| (cotinuation de la preuve), |Aut(K/F)| bourné par [K:F] pour les extensions finies, K/K^G Galoisienne, K^{G_1} différent de K^{G_2}, Galoisienne=corps de décomposition de polynôme séparable, conjugués d'un élément, corps conjugué, équivalences de Galoisienne, théorème fondamental.
  • le 13 mars : 14.2 Le théorème fondamental de la théorie de Galois: caractères d'un groupe a valeurs sur un corps, indépendance linéaire de caractères, [K:K^G]=|G| (moitié de la preuve).
  • le 11 mars : 14.1 Définitions de base de la théorie de Galois, automorphisme, F-isomorphisme, Aut(K/F), corps d'invariants par H < Aut(K), |Aut(E/F)| bourné par [E:F] pour les corps de décomposition, extension Galosienne, groupe de Galois, exemples de Q(sqrt(2)), Q(sqrt(2),i), Q(sqrt[3](2),xi_3), corps finis (groupe de Galois cyclique engendré par Frobenius), et extensions inséparables.
  • le 4 et 6 mars : semaine de relâche
  • le 27 février : 13.6 Extensions cyclotomiques, groupe de racines n-ièmes de l'unité, racines primitives, polynôme cyclotomique, les polynômes cyclotomiques sont unitaires, à coefficients sur Z, de degré phi(n) et irréductibles sur Z.
  • le 25 février : Intra
  • le 20 février : Questions de discusion
  • le 18 février : 13.5 endomorphism de Frobenius, corps parfait, irréductible et corps parfait implique séparable, existence et unicité des corps finis, degrés séparable et inséparable.
  • le 13 février : cours annulé à cause de la neige.
  • le 11 février (cours donnés par Antoine Giard) : 13.4 et ailleurs, la clôture algébrique est algébriquement close, tout corps a une extension algébriquement close, l'ensemble d'éléments algébriques sur un corps donné est une clôture algébrique, F-plongements, la clôture algébrique est unique, 13.5 Extensions séparables et inséparables, racines multiples et simples, polynôme séparable et inséparable, dérivée, irréductible et char=0.
  • le 6 février : 13.4 racines de l'unité et corps cyclotomique, unicité du corps de décomposition, clôture algébrique, corps algélbriquement clos.
  • le 4 février : 13.2 degré d'extension composée, 13.3 Constructions à la règle et au compas, nombres constructibles, degré des nombres constructibles, les problèmes de l'antitiqué ne sont pas résolubles, 13.4 Corps de décomposition et clôture algébrique, extensions normales.
  • le 30 janvier : 13.2 type fini+générateurs algébriques implique finie, ensemble d'éléments algébriques, tour d'extensions algébriques, définition d'extension composée.
  • le 28 janvier : 13.2 polynôme minimal, propriétés de F(a) si a algébrique, les extensions finies sont algébriques, extensions quadratiques, le degré d'une tour d'extensions, extensions de type fini.
  • le 23 janvier : 13.1 corps engendré par quelques éléments, extension simple et élément primitif, F(a) isomorphe à F[x]/(p(x)), où p(a)=0 irréductible, la notation F(a)=F[a], extensions d'isomorphismes dans cetaines extensions, 13.2 Extensions algébriques : élément algébrique et transcendant.
  • le 21 janvier : 9.4 les sous-groupes finis du groupe multiplicatif d'un corps sont cycliques, 13.1 Notions de base de la théorie des corps : caractéristique et corps premier, extension, degré d'une extension, extension d'un corps en ajoutant la racine d'un polynôme irréductible, le degré de F[x]/(p(x)). Exemples, en incluant Q(t)[x]/(x^2-t).
  • le 16 janvier : 9.4 Critères d'irréductibilité de polynômes : lemme de Gauss, racines, lemme de la racine, critère d'Eisenstein, les premiers des entiers de Gauss, irréductibilité quand on reduit modulo un idéal.
  • le 14 janvier : Quelques notions de la théorie des anneaux: morphismes, idéal, idéal maximal et premier, anneau quotient, projection canonique, premier théorème de l'isomorphisme, anneau intègre, corps de fractions. Quelques notions d'anneaux de polynômes: degré anneau euclidien, algorithme de division, anneau factoriel, polynômes irréductibles.
  • le 9 janvier : Petite discussion informelle sur la résolution d'équations algébriques et sa relation avec des corps, cas degrés 4 et 5. Constructions à la règle et au compas et les trois grands problèmes de l'antitiqué. Quelques notions de la théorie des anneaux: morphismes, image et noyau.
  • le 7 janvier : Bienvenue au cours! Définition d'anneau, anneau commutatif, unitaire, exemples (Q(sqrt(2)), F_2, F_4), sous-corps et extensions de corps. Petite discussion informelle sur la résolution d'équations algébriques et sa relation avec des corps, cas degrés 2 et 3.

Ouvrages complémentaires:



Dernière mise à jour: le 11 mars 2019 (ou plus tard)