% \exer sert à indiquer le début de la question.
% \Item sert à indiquer le début de la sous-question a), b), etc.
% Vous pouvez les enlever, vu qu'ils ne sont pas définis dans
% cette version.
%
% Macro personnels
\def\intsup_#1^#2{\overline{\int_{#1}^{#2}}}
\def\intinf_#1^#2{\underline{\int_{#1}^{#2}}}
\let\ep=\varepsilon
\def\R{{\mathbb R}}
\def\N{{\mathbb N}}

\exer Soit $P = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ une
	partition de $[a,b]$. On définit la {\it largeur} de
	$P$ par $\|P\| := \max\{x_1-x_0, x_2-x_1, \ldots, x_n-x_{n-1}\}$.

	Soit $f\colon [a,b]\to \R$ une fonction intégrable.
	Le but de l'exercice est de montrer que pour tout $\ep>0$, il
	existe $\delta>0$ tel que pour toute partition $P$ de
	$[a,b]$, si $\|P\| < \delta$, alors $S(f,P) - I(f,P)
	< \ep$.

	\Item On pose $M := \sup_{[a,b]} f$ et $m := \inf_{[a,b]} f$.
		Soit $\delta>0$ et soit $P$ une partition de $[a,b]$
		avec $\|P\| < \delta$. Soit $x\in [a,b]$.  Montrer que
		$$ 
			S(f,P) - S(f,P\cup\{x\}) \leq (M-m)\delta.  
		$$
	\Item Soit $\ep >0$. Montrer qu'il existe une
		partition, disons $Q = \{a = y_0 < \cdots < y_d=b\}$,
		de $[a,b]$ telle que $S(f,Q) - I(f,Q) < {\ep\over 2}$.
	\Item On pose $P_0 := P$ et, pour
		$1\leq j\leq d+1$, $P_j := P_{j-1} \cup \{y_{j-1}\}$,
		où les $y_j$ sont les éléments de $Q$ du b).
		Montrer que
		$$
			S(f,P_j) - S(f,P_{j+1}) \leq (M-m)\delta.
		$$
	\Item Déduire que $S(f,P) - S(f,P_{d+1}) \leq (M-m)(d+1)\delta$.
	\Item  À partir du a) à d), montrer qu'il existe $\delta$ tel que 
		pour toute partition $P$ de $[a,b]$, si
		$\|P\| < \delta$, alors
		$$
			S(f,P) - I(f,P) < \ep.
		$$



\exer On pose $I_n = \int_{-1}^1 (1 - x^2)^n \d x$.
	\Item Calculer $\lim\limits_{n\to\infty} I_n$.
	\Item Montrer que pour tout $n\in\N$ et tout $\lambda \in (0,1)$, on~a
		$I_n \geq 2\lambda\bigl(1-\lambda^2\bigr)^n$. Déduire que $I_n \geq
		{2\over\sqrt{2n}} \left(1 - {1\over 2n}\right)^n > 0$ pour
		tout~$n\in\N$. Déduire ensuite qu'il existe $M>0$ tel que $I_n
		\geq {2M\over \sqrt{2n}}$.
	\Item On pose 
		$$
			L_n(x) = \cases{
				{1\over I_n} \bigl(1-x^2\bigr)^n, & si $|x| \leq 1$, \cr\noalign{\vskip2\jot}
				0, & si $|x| > 1$.
			}
		$$
		Calculer~$\lim\limits_{n\to\infty} L_n(0)$ et, pour chaque $n\in\N$,
		$\int_{-\infty}^\infty L_n(x)\d x$.  Montrer également que pour
		tout $\lambda >0$, $L_n \to 0$ uniformément sur~$\R\setminus
		(-\lambda,\lambda)$. 
	\Item On pose $p_n(x) := \int_{-\infty}^\infty f(x-t)L_n(t)\d t$.
	Montrer que $p_n \to f$ uniformément sur $\bigl[-{1\over 2},
	{1\over 2}\bigr]$.
	\hfil\penalty-10000
	{\it Indice\/}.~On peut écrire $f(x) = \int_{-1}^1 f(x) L_n(t)\d t$.
		Utilisez le c) et la continuité uniforme de $f$
		pour analyser $|p_n - f|$.

\bye
