Initiation à MATHEMATICA 6

Cette initiation au logiciel MATHEMATICA 6 ne prétend pas remplacer un cours sur Mathematica ; elle vise seulement à faire connaître à qui n'est pas familier avec le logiciel quelques commandes de base,  illustrées par l'étude des fonctions différentiables de plusieurs variables réelles.

Démarrage

Pour appeler MATHEMATICA en mode graphique sur le serveur ESIBAC de l'Université de Montréal, choisissez d'abord «Window Terminal» dans la barre des tâches puis, dans la fenêtre qui s'ouvre, entrez mathematica_6.0.1  à l'instigation esibac%.  Vous pouvez ensuite ouvrir un fichier de type nb (un «notebook») qui est dans votre compte en déroulant le menu File > Open. Vous pouvez aussi en créer un nouveau à partir de celui (vide et sans nom) qui s'ouvre par défaut puis, si désiré, le sauvegarder en déroulant le menu File > Save As .

Exécution

Un notebook se compose de cellules, délimitées par un crochet à l' extrémité droite de la fenêtre. La cellule par défaut est la cellule d'input dans laquelle on entre les commandes à exécuter. Il y a aussi des cellules de texte, des cellules d' output générées par MATHEMATICA,  etc ... Pour  changer le style d' une cellule, déroulez le menu Format > Style.

Une cellule d'input est évaluée en y plaçant le curseur puis en pressant la touche ENTER du pavé numérique ou en pressant MAJ + ENTER du clavier alphanumérique.
Si vous lisez ceci avec MATHEMATICA (plutôt qu'avec  Mathematica Player), évaluez les cellules d'input suivantes  (l'évaluation de la première cellule d'un notebook est toujours un peu plus lente, le temps de charger le «noyau»).

2+2

Expand[(((a+b))^4)]

Plot[x (E^(- x)),{x,0,3}]

Les autres cellules d'input de ce notebook de démonstration sont, bien sûr, déjà toutes évaluées.

Syntaxe

Pour créer une nouvelle cellule, cliquer sous la cellule précédente.

Utilisez la palette BasicMathInput  (menu palette > BasicMathInput) pour entrer une somme, une intégrale , une dérivée, une constante telle que π, un exposant,  une fraction, etc ... en cliquant simplement sur l'objet désiré (il ira se placer dans la cellule d'input active, là où se trouve le curseur) puis entrez les paramètres nécessaires. (Pour la liste complète des commandes possibles, déroulez le menu Help > Documentation Center).
IMPORTANT : Les fonctions commencent par des majuscules et leurs arguments sont entre crochets : Sin[x] et non pas sin[x] ou Sin(x).

Évaluez.

Représentation des fonctions

1. Graphe de z = f(x,y)

La commande de base est Plot3D.

Plot3D[Sin[x (y^2)],{x,0,π},{y,-1,1}]

Pour faire pivoter la surface précédente, placez-y le curseur.

Les commandes de MATHEMATICA admettent plusieurs paramètres. Ainsi, pour nommer les axes, utilisez AxesLabel. (Pour voir la liste des options associées à une Commande, entrez Options[Commande] dans une cellule d'input.)

Options[Plot3D]

Plot3D[Sin[x (y^2)],{x,0,π},{y,-1,1},AxesLabel->{x,y,z}]

2. Courbes de niveau de z = f(x,y)

Utilisez la commande ContourPlot.

ContourPlot[Sin[x (y^2)],{x,0,π},{y,-1,1}]

3. Surfaces de niveau

ContourPlot3D[((x^2)/9)+((y^2)/6)+ ((z^2)/3)==1,{x,-3,3},{y,-3,3},{z,-3,3},AxesLabel->{x,y,z},AxesLabel->{x,y,z}]

Calcul de dérivées partielles

Utilisez l'objet (∂_□) □ de la palette BasicMathInput.

(∂_x) Sin[x (y^2)]

(∂_y) Sin[x (y^2)]

{(∂_(x,x))Sin[x (y^2)],(∂_(x,y))Sin[x (y^2)],(∂_(y,x))Sin[x (y^2)],(∂_(y,y))Sin[x (y^2)]}

Calcul d'intégrales multiples

MATHEMATICA ne calcule pas d'intégrales multiples, seulement des intégrales simples itérées. Utilisez l'objet (∫_□^□)□d□ de la palette BasicMathInput  plusieurs fois.

(∫_0^1)(∫_1^2)(((x + y + (Sqrt[x y])))^3)\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x

Dans l'intégrale précédente, y varie entre 1 et 2 alors que x varie entre 0 et 1.

(∫_0^∞)(∫_0^1)(E^(- x))Sin[x (y^2)]\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x

Utilisez la commande N[Expression] ou Expression//N pour obtenir la valeur numérique d'une Expression.

N[(∫_0^∞)(∫_0^1)(E^(- x))Sin[x (y^2)]\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x]

Calcul de l'aire d'une ellipse.

4(∫_0^a)(∫_0^(b (Sqrt[1 -((x^2)/(a^2))])))1\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x

Calcul du volume d'un tétraèdre.

(∫_0^a)(∫_0^(b(1-(x/a))))(∫_0^(c(1-(x/a)-(y/b))))1\[DifferentialD]z\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x

Changements de coordonnées

Les commandes de base de Mathematica sont complétées par des packages spécialisés qui sont appelés par la commande Needs["nom du package`"] et qui n'a pas d'output visible.

Needs["VectorAnalysis`"]

CoordinatesFromCartesian[{1,1,1},Spherical]

Conclusion

Le logiciel MATHEMATICA et d'autres logiciels de même type tels MAPLE ou MATLAB sont des outils très puissants avec lesquels il est important de se familiariser.