Mathematica


Le logo de Mathematica.

Mathematica est un logiciel propriétaire de calcul formel conçu par la société Wolfram Research.

Le système de Mathematica est formé d'un noyau, qui réalise les calculs et peut être exécuté sur une autre machine que celle de l'utilisateur, et d'une interface interactive pour entrer les données. Celle-ci attend des entrées de l'utilisateur exprimées dans le langage de Mathematica, selon une syntaxe définie, et affiche le résultat des calculs sous forme de texte simple, de formules, ou d'images.

Guide

Démarrer Mathematica

Pour démarrer le logiciel, vous pouvez soit entrer la commande

mathematica

soit cliquer sur l'icône représentant le logo de Mathematica, situé dans le menu du haut.

Apprentissage de Mathematica

Si vous êtes un nouvel utilisateur de Mathematica, ou encore si vous souhaitez approfondir vos connaissances de ce langage, les liens suivants sauront vous aider:

Le centre documentation est également accessible depuis Mathematica, en cliquant sur le menu Help et ensuite Documentation Center, ou encore en appuyant sur la touche F1.

Exemples

Dans ce qui suit, quelques exemples très simples vous sont proposés dans l'optique de vous familiariser avec les commandes de base de Mathematica.

Opérations arithmétiques et simplifications

Pour additionner (+), soustraire (-), diviser (/), multiplier (* ou espace) ou élever à une puissance (^), il suffit d'entrer les opérandes en les espaçant par le symbole approprié, comme si vous faisiez usage d'une calculatrice. De plus, la priorité des opérations est respectée par Mathematica; l'usage de parenthèses () est nécessaire par endroit.

Pour faire évaluer une expression ou une commande par Mathematica, appuyez sur NumPad Enter, c'est-à-dire la touche Enter sur le pavé numérique, ou encore faites Shift+Enter.

Il arrive fréquemment que la réponse fournit par Mathematica ne soit pas complètement simplifiée, ou encore que vous souhaitiez que Mathematica tente de simplifier une expression pour vous. Ceci est effectué par la commande FullSimplify. Par exemple,

FullSimplify[x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6]

retourne <m>\small(-3 + x) (-2 + x) (-1 + x)</m>.

À l'opposé, si vous souhaitez développer une expression, c'est la commande Expand qu'il faut employer:

Expand[(-3 + x) (-2 + x) (-1 + x)]

ce qui donne <m>\small-6+11x-6x^2+x^3</m>, le résultat attendu.

Assignation d'une variable

Pour assigner une valeur numérique, par exemple 3.14159 à une variable x, vous n'avez qu'à entrer

x = 3.14159

dans une nouvelle ligne. Veuillez noter que Mathematica possède une constante désignée pour <m>\pi</m>, nommée Pi, qu'il est possible d'évaluer à une précision arbitrairement élevée. Par exemple, pour obtenir pi jusqu'à la 100e décimale:

N[Pi,100]

ce qui renvoie 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068. La commande N sert à approximer une constante exacte (comme <m>\pi</m>, <m>\textstyle\frac{1}{3}</m>, etc.) par un certain nombre de chiffres significatifs (100 dans l'exemple précédant, 6 par défaut).

Définition d'une fonction

Mathematica vous offre la possibilité de définir vos propres fonctions. Par exemple, pour définir <m>\small f(x)=x^2</m>, vous devez entrer

f[x_] = x^2

Si vous souhaitez plutôt définir une fonction mais sans l'évaluer immédiatement, vous devez utiliser l'opérateur := plutôt que =. Par exemple, l'évaluation de

f[x_] = Expand[x^2]

signifiera que <m>\small f(x)=x^2</m> pour Mathematica. Si le résultat espéré est plutôt la création d'une fonction qui développe le carré de son argument, alors il faut entrer la commande suivante:

f[x_] := Expand[x^2]

Une fois que vous avez demandé à Mathematica d'évaluer la commande, si vous entrez ensuite f[a + b], vous obtiendrez maintenant <m>\small a^2 + 2 a b + b^2</m>, et non <m>\small (a+b)^2</m>, comme c'était le cas avec la définition précédente.

Dérivation et intégration

L'opération de dérivation partielle s'obtient avec la commande D. Par exemple, si vous souhaitez calculer <m>\textstyle\frac{\partial}{\partial x}\sin(2x^2)</m>, vous entrez

D[Sin[2 x^2], x]

En général, si vous souhaitez calculer <m>\textstyle\frac{\partial^{m_1+m_2+\dots+m_n}}{\partial x_1^{m_1}\partial x_2^{m_2}\cdots\partial x_n^{m_n}}f(x_1,\dots,x_n)</m>, vous devez écrire:

D[f[x1, x2, ... , xn], {x1, m1}, {x2, m2}, ... , {xn, mn}]

Par exemple, si l'on souhaite calculer <m>\textstyle\frac{\partial^5}{\partial x^2\partial y^3}(x^2+y^2+x^2y^3z)</m>, il faut entrer

D[x^2 + y^2 + x^2 y^3 z, {x, 2}, {y, 3}]

qui donne bien <m>\small 12z</m>.

Similairement, la dérivation totale est obtenue avec Dt:

Dt[x y z, x]
avec ''y z + x z Dt[y, x] + x y Dt[z, x]'' comme résultat.

L'intégration d'une fonction est donnée par la commande Integrate. Par exemple, si vous souhaitez que Mathematica calcule <m>\small\textstyle\int_{x_{1_{min}}}^{x_{1_{max}}}\int_{x_{2_{min}}}^{x_{2_{max}}}\dotsi\int_{x_{n_{min}}}^{x_{n_{max}}}\mathrm{d}^n\mathbf{x}\,f(x_1,\dotsc,x_n)</m> pour vous, vous devez entrer:

Integrate[f[x1, x2, ... , xn], {x1, x1min, x1max}, ... , {xn, xnmin, xnmax}]

Veuillez noter que Mathematica peut également compléter une intégrale indéfinie: pour ce faire, il suffit d'omettre les bornes d'intégration comme arguments de la commande. Vous pouvez aussi intégrer numériquement une expression avec la commande NIntegrate.

Résolution d'équations

Pour résoudre une équation algébrique, on emploie la commande Solve:

Solve[x^2 == 1, x]

qui donne {{x -> -1}, {x -> 1}}. Il est important d'employer "==" pour signifier une égalité dans une équation, le symbole "=" étant réservé par Mathematica pour les assignations de variables. Similairement, la commande NSolve tente de trouver une approximation numérique à la solution de l'équation, si celle-ci existe.

Il est également possible de résoudre une équation différentielle, avec la commande DSolve, pour un traitement algbrique de la solution, et NDSolve pour l'obtention d'une réponse numérique.

Algèbre linéaire

Pour Mathematica, vecteurs, matrices ou tenseurs, ne sont rien de plus que des listes d'éléments.

{a, b, c}.{c, b, a}

est l'équivalent de <m>\small\textstyle\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1\end{matrix}\right]</m>. Similairement,

{{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}}.{{0, 1}, {1, 0}}

est l'équivalent de <m>\small\textstyle\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3 \\ 6 & 5\end{pmatrix}</m>.

Le symbole ".", employé comme opérateur binaire dans Mathematica, sert à désigner le produit scalaire ou matriciel.

Pour inverser ou transposer une matrice, on emploie les commandes Inverse et Transpose, respectivement. Pour élever une matrice carrée à une puissance réelle, il faut employer la commande MatrixPower:

MatrixPower[A, r]

A est une matrice carrée et r est un nombre réel.

La commande Eigensystem permet d'obtenir à la fois les valeurs propres d'une matrice ainsi que ses vecteurs associés. Par exemple, en entrant

Eigensystem[{{a, b}, {c, d}}]

Mathematica retourne <m>\small\textstyle\Biggl\{\Bigl\{\frac{1}{2}\left(a+d-\sqrt{a^2+4bc-2da+d^2}\right),\frac{1}{2}\left(a+d+\sqrt{a^2+4bc-2ad+d^2}\right)\Bigr\},\biggl\{\Bigl\{-\frac{d-a+\sqrt{a^2+4bc-2ad+d^2}}{2c},1\Bigr\},\Bigl\{-\frac{d-a-\sqrt{a^2+4bc-2ad+d^2}}{2c},1\Bigr\}\biggr\}\Biggr\}</m>. Les deux premiers éléments de la liste précédente sont les valeurs propres, et les deux derniers les vecteurs propres correspondant.

Il est également possible d'obtenir uniquement les valeurs propres, avec Eigenvalues, ou uniquement les vecteurs propres, avec Eigenvectors.

Génération de graphiques

Mathematica peut générer plusieurs types de graphiques pour vous:

  • Plot: Pour tracer une fonction sur un certain domaine. Voici un exemple simple d'un graphique généré avec Plot:
Plot[{Sin[x], Sin[2 x], Sin[3 x]}, {x, 0, 2 Pi}]

Plot.png

  • ListPlot: Pour afficher une liste de points. Par exemple:
ListPlot[Table[{i, i^2}, {i, 0, 10}]]

ListPlot.png

où la commande Table est employée pour générer la liste <m>\small\bigl\{\{0,0\},\{1,1\},\{2,4\},\{3,9\},\{4,16\},\{5,25\},\{6,36\},\{7,49\},\{8,64\},\{9,81\},\{10,100\}\bigr\}</m> affichée sur la figure ci-haut.

  • Plot3D: Pour générer un graphique tridimensionnel. Par exemple:
Plot3D[Sqrt[1 - x^2 - y^2], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, Mesh -> 8, ColorFunction -> Hue, MeshShading -> {{Yellow, Orange}, {Pink, Red}}]

Plot3D.png

  • DensityPlot: À l'instar de la commande Plot3D, cette commande permet de tracer une fonction de deux variables. Par exemple:
DensityPlot[Sin[x] Sin[y], {x, -4, 4}, {y, -3, 3}, ColorFunction -> "SunsetColors"]

DensityPlot.png

  • ContourPlot: Cette commande trace, tout comme Plot3D et DensityPlot, une fonction de deux variables. Par exemple:
ContourPlot[Cos[x] + Cos[y], {x, 0, 4 Pi}, {y, 0, 4 Pi}]

ContourPlot.png

L'affichage d'un graphique s'accompagne souvent d'une ou plusieurs options relatives au rendu de l'image. Pour connaître les options disponibles pour une commande donnée, n'oubliez pas de consulter le Documentation Center (aide) de Mathematica.


Voir aussi

Articles connexes

Liens externes


La dernière modification de cette page a été faite le 29 septembre 2022 à 09:51.