Bujold, Crystel
- Chargé de cours
-
Faculté des arts et des sciences - Département de mathématiques et de statistique
André-Aisenstadt
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Long large character sums
Thèses et mémoires dirigés / 2019-12
Bujold, Crystel
Abstract
Abstract
Cette thèse traite d’un sujet central de la théorie analytique des nombres, notamment celui des caractères de Dirichlet et plus particulièrememt, celui des sommes de caractères. Plus précisément, on y développe un résultat concernant la valeur maximale pouvant être atteinte par une longue somme de caractère. Chemin faisant, nous serons amenés à investiguer la structure de réseaux et nous en soutirerons un résultat intéressant. Dans le Chapitre 1 sont discutées les notions et techniques nécessaires à l’élaboration
de la preuve du résultat principal. On y discutera des notions d’analyse harmonique, de techniques classiques de théorique des nombres et l’on fera finalement un survol des nombres friables. Le Chapitre 2 introduira la théorie propre aux caractères de Dirichlet et aux sommes de
caractères. Les propriétés de bases et les théorèmes classiques seront couverts ainsi qu’un aperçu des résultats récents qui touchent de près au sujet principal de cette thèse. On donnera au Chapitre 3 un premier résultat qui fera diverger la thèse dans le domaine
des réseaux. Il s’agit d’un résultat auxiliaire au résultat principal, mais qui offre un intérêt indépendant aux sommes de caractères. Il sera question de l’ordre de grandeur des multiples d’un vecteur choisi dans un réseau, lorsque les multiplicateurs sont dans certaines classes de congruences. Le Chapitre 4 servira de lien entre les réseaux et les caractères et on y appliquera les
théorème démontrés au Chapitre 3. Les résultats sur les caractères qui en découlerons serons les éléments clés pour la preuve du théorème principal. Au chapitre 5, nous dériverons quelques estimés préliminaires qui seront nécessaires à la
preuve du théorème principal. En particulier, le chapitre sera divisé en deux sectioncs; l’une traitant de sommes exponentielles, l’autre de nombre friables. Finalement, le Chapitre 6 constitura le point culminant de cette thèse et servira à
démontrer le résultat principal sur les sommes de caractères. Nous y prouverons une borne inférieur sur le maximum pouvant être atteinte par un caractère parmi les caractères modulo un nombre premier q.
Formes quadratiques ternaires représantant tous les entiers impairs
Thèses et mémoires dirigés / 2013-11
Bujold, Crystel
Abstract
Abstract
En 1993, Conway et Schneeberger fournirent un critère simple permettant de déterminer
si une forme quadratique donnée représente tous les entiers positifs ; le théorème
des 15. Dans ce mémoire, nous nous intéressons à un problème analogue, soit la recherche
d’un critère similaire permettant de détecter si une forme quadratique en trois
variables représente tous les entiers impairs. On débute donc par une introduction générale
à la théorie des formes quadratiques, notamment en deux variables, puis on
expose différents points de vue sous lesquels on peut les considérer. On décrit ensuite
le théorème des 15 et ses généralisations, en soulignant les techniques utilisées dans la
preuve de Bhargava. Enfin, on démontre deux théorèmes qui fournissent des critères
permettant de déterminer si une forme quadratique ternaire représente tous les entiers
impairs.