Les symboles de Christoffel de deuxième espèce

Voici comment exprimer les symboles gamma 111, gamma 112, ..., etc, en fonction des coefficients de la première forme fondamentale et de leurs dérivées.
On utilisera ici la convention d'écriture (facilement utilisable dans Mathematica)
g111, g112, g121, g123 et g221, g222
pour les composantes tangentielles des dérivées xuu, xuv et xvv des vecteurs de base de l'espace tangent en un point quelconque d'une surface paramétrée par la fonction vectorielle x(u,v).
Après calculs utilisant des équations de Gauss, on est conduit à résoudre trois systèmes d'équations linéaires à chacun deux inconnues suivants:
(les EE, FF, GG, EEu, EEv,..etc, sont, bien entendu, les coefficients de la première forme fondamentale et leurs dérivées, lettres doubles pour éviter des collisions possibles avec des symboles réservés)

syst1 = {EE g111 + FF g112 == 1/2 EEu, FF g111 + GG g112 == FFu - 1/2 EEv}
syst2 = {EE g121 + FF g122 == 1/2 EEv, FF g121 + GG g122 == 1/2 GGu}
syst3 = {EE g221 + FF g222 == FFv - 1/2 GGu, FF g221 + GG g222 == 1/2 GGv}

On aura donc les solutions:

sol1 = Solve[syst1,{g111,g112}]
sol2 = Solve[syst2,{g121,g122}]
sol3 = Solve[syst3,{g221,g222}]

On trouve par exemple:

g112 = sol1[[1,2,2]]
c'est-à-dire
g112 = -(-(EE*EEv) - EEu*FF + 2*EE*FFu)/(2*(FF^2 - EE*GG))
et l'on constate un changement de signe à apporter au résultat correspondant dans le manuel.

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©jmt : création le 001122 - dernière modification le 011121