Calcul de la courbure de Gauss en un point d'un morceau de surface


On sait que la courbure de Gauss K est le quotient du discriminant de la 2ième forme fondamentale sur le discrimant de la 1ière forme fondamentale.
On a donc que K = (L N - M2)/(E G - F2).
Or nous savons déjà comment calculer avec Mathematica les coefficients des deux formes fondamentales avec cff1.m et cff2.m. Voici donc une commande qui va faire le calcul pour nous, dans une capsule que je suggère de sauvegarder dans le fichier gauss.m.
Pour éviter des collisions avec des symboles réservés de Mathematica, appelons gauss la commande qui va calculer K.
Contenu du fichier gauss.m :

(* calcul de K, la courbure de Gauss d'un morceau de surface *)
gauss[mds_][u_,v_]:= Module[{res1,res2,m1,m2},
    Get["cff1.m"];
    Get["cff2.m"];
    res1 = cofofo1[mds][u,v];
    res2 = cofofo2[mds][u,v];
    m1 = {{res1[[1]],res1[[2]]},{res1[[2]],res1[[3]]}};
    m2 = {{res2[[1]],res2[[2]]},{res2[[2]],res2[[3]]}};
    resk = Det[m2]/Det[m1] //Simplify
    ]
Il faudra encore simplifier le résultat au besoin …

Exemples:
1) Une sphère de rayon r
x[u_,v_]:= {r Cos[u] Sin[v],r Sin[u] Sin[v],r Cos[v]}
gauss[x][u,v]
2) Un ellipsoïde
y[u_,v_]:= {2 Cos[u] Sin[v],3 Sin[u] Sin[v],4 Cos[v]}
gauss[y][u,v]
Pour cet ellipsoïde, calculer la courbure de Gauss au point y[.1,.2] par exemple, revient à l'exécution de la commande
gauss[y][.1,.2]
On trouve : 0.355874
Il est intéressant de voir le comportement de la courbure de Gauss sur l'ellipsoïde en dessinant le graphe de K.
Il suffit d'exécuter:
Plot3D[gauss[y][u,v]//Evaluate,{u,0,2Pi},{v,0,Pi}]
Le lecteur averti aura aussi intérêt à comparer les résultats ci-dessus avec ceux obtenus pour les mêmes surfaces au même point dans la rubrique sur l'opérateur de courbure.

Retour à ma page personnelle



©jmt : création le 001108 - dernière modification le 011212