Calcul de la courbure normale en un point d'un morceau de surface, dans une direction du plan tangent



Cette page vous donne 2 manières de calculer la courbure normale kappan (à prononcer : kappa-enne) avec Mathematica.
Puisque kappan est le quotient de la 2ième forme fondamentale par la 1ière forme fondamentale, on peut la calculer via les commandes comprises dans fofo1.m et fofo2.m .
1) Chargez fofo1.m dans Mathematica
<<fofo1.m
2) Chargez fofo2.m dans Mathematica
<<fofo2.m
3) Définir
kappan[x_][u_,v_][du_,dv_]:= fofo2[x][u,v][du,dv]/fofo1[x][u,v][du,dv]
Il faudra encore simplifier le résultat au besoin …

Alternativement, on peut créer un fichier (je suggère courbnor.m) contenant le chargement de fofo1.m et fofo2.m, suivi de la commande ci-dessus localisée dans une capsule. Donc
Contenu du fichier courbnor.m :

(* calcul de la courbure normale d'un morceau de surface *)
(* ------------- dans la direction (du,dv) --------------*)
kappan[mds_][u_,v_][du_,dv_]:= Module[{x,a,b,da,db,res1,res2,sub1,sub2},
    Get["fofo1.m"];
    Get["fofo2.m"];
    x[a_,b_]:= mds[a,b];
    res1 = fofo2[x][a,b][da,db]/fofo1[x][a,b][da,db];
    sub1 = Thread[Rule[{a,b},{u,v}]];
    res2 = res1 /. sub1;
    sub2 = Thread[Rule[{da,db},{du,dv}]];
    conor = res2 /. sub2
    ]
Il faudra encore simplifier le résultat au besoin …

Exemples:
On charge le fichier courbnor.m :
<<courbnor.m
1) Une sphère de rayon r
x[u_,v_]:= {r Cos[u] Sin[v],r Sin[u] Sin[v],r Cos[v]}
kappan[x][u,v][du,dv]
Ou encore, avec les simplifications qui s'imposent ici :
kappan[x][u,v][du,dv] /. Dt[r]->0 //PowerExpand //Simplify
2) Un ellipsoïde
y[u_,v_]:= {2 Cos[u] Sin[v],3 Sin[u] Sin[v],4 Cos[v]}
kappan[y][u,v][du,dv]
Pour cet ellipsoïde, calculer la courbure normale au point y[.1,.2] dans la direction (du,dv) par exemple, revient à l'exécution de la commande
kappan[y][.1,.2][du,dv]
On trouve :
    3.78381 (0.0394695 du2 + dv2 )
---------------------------------
0.353259 du2 + 0.193414 du dv + 4.5215 dv2

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©jmt : création le 001107 - dernière modification le 011212