Calcul de la courbure moyenne en un point d'un morceau de surface


On sait que la courbure moyenne H est donnée par la formule :
H = (E N + G L - 2 F M)/2(E G - F2).
Il est facile de vérifier que le numérateur est la somme
(E N - F M) + ( G L - F M)
c'est-à-dire la somme des déterminants des matrices {{E,F},{M,N}} et {{L,F},{M,G}}, matrices construites avec les coefficients des deux formes fondamentales.
Or nous savons déjà comment calculer (avec Mathematica) les deux formes fondamentales avec fofo1.m et fofo2.m.
Voici donc une commande qui va faire le calcul pour nous, dans une capsule que je suggère de sauvegarder dans le fichier como.m (como pour courbure moyenne).
Contenu du fichier como.m :

(* calcul de H, la courbure moyenne d'un morceau de surface *)
como[mds_][u_,v_]:= Module[{res1,res2,m1,m3,m4},
    Get["cff1.m"];
    Get["cff2.m"];
    res1 = cofofo1[mds][u,v];
    res2 = cofofo2[mds][u,v];
    m1 = {{res1[[1]],res1[[2]]},{res1[[2]],res1[[3]]}};
    m3 = {{res1[[1]],res1[[2]]},{res2[[2]],res2[[3]]}};
    m4 ={{res2[[1]],res1[[2]]},{res2[[2]],res1[[3]]}} ;
    resh = (Det[m3]+Det[m4])/(2 Det[m1])//Simplify
    ]
Il faudra encore simplifier le résultat au besoin …

Exemples:
1) Une sphère de rayon r

x[u_,v_]:= {r Cos[u] Sin[v],r Sin[u] Sin[v],r Cos[v]}
como[x][u,v]
2) Un ellipsoïde

y[u_,v_]:= {2 Cos[u] Sin[v],3 Sin[u] Sin[v],4 Cos[v]}
como[y][u,v]
Pour cet ellipsoïde, calculer la courbure moyenne au point y[.1,.2] par exemple, revient à l'exécution de la commande
como[y][.1,.2]
On trouve : 0.633516
Il est intéressant de voir le comportement de la courbure moyenne sur l'ellipsoïde en dessinant le graphe de H.
Il suffit d'exécuter:
Plot3D[como[y][u,v]//Evaluate,{u,0,2Pi},{v,0,Pi}]

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©jmt : création le 001108 - dernière modification le 011212