Calcul des coefficients de la deuxième forme fondamentale

Pour certains développements, il est intéressant de calculer directement (avec Mathematica) les coefficients {L, M, N} de la 2ème forme fondamentale plutôt que la forme elle-même.
Dans ce cas, on utilisera avec profit la commande ci-dessous, qu'on pourra sauvegarder dans un fichier (je suggère cff2.m) de son répertoire personnel.
Notons que le résultat de cette commande est une liste de trois expressions qui sont les expressions de L, M et N en fonction des paramètres du morceau de surface concerné.
Cette liste porte le nom de res2 (pour résultat 2) qu'on va utiliser par la suite.
Contenu du fichier cff2.m :

(*-- calcul des coefficients de la deuxieme forme fondamentale---*)
(*-- pour un morceau de surface mds ---*)
cofofo2[mds_][u_,v_]:= Module[{x,a,b,der1,der2,der11,der12,der22,unit,nu,pv,LL,MM,NN},
    x[a_,b_]:= mds[a,b];
    der1 = D[x[a,b],a];
    der2 = D[x[a,b],b];
    der11 =D[der1,a];
    der12 =D[der1,b];
    der22 =D[der2,b];
    norme[vect_]:= Sqrt[vect.vect];
    pv = Cross[der1,der2];
    unit[vect_]:= 1/norme[vect] vect;
    nu = unit[pv];
    LL= der11 . nu /. {a->u,b->v};
    MM= der12 . nu /. {a->u,b->v};
    NN= der22 . nu /. {a->u,b->v};
    res2 = {LL,MM,NN}//Simplify//PowerExpand
    ]
Il faudra encore simplifier au besoin …
Il est bon de tester sa commande sur quelques exemples :
x[u_,v_]:= {u,v,u+v}

z[x_,y_]:= {x,y,x^2 + y^2}

x[u_,v_]:= {u,v,u^2 + v^2}

mds[u_,v_]:= {r Cos[u] Sin[v],r Sin[u] Sin[v],r Cos[v]}

w[u_,v_]:= {a Cos[u] Sin[v],b Sin[u] Sin[v], c Cos[v]}

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©jmt : création le 001127 - dernière modification le 011121