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La solution géométrique.

Le problème qui nous occupe possède évidemment une solution triviale dans le cas où les 4 points donnés sont sur un même cercle. Ce cercle est à distance zéro des 4 points. Bien plus, tous les cercles concentriques à celui-ci sont aussi solution du problème. Dans ce cas, nous avons donc une infinité de solutions. Le dessin de gauche de la figure ci-dessous en montre quelques-uns.

Cette situation, très particulière et au premier abord inintéressante, où tous les 4 points sont sur un même cercle $C_{0}$, de rayon, disons, $r_{0}$, est en fait notre point de départ vers la solution complète.

\includegraphics [width= 12cm]{fig3ce4pts.eps}

En effet, comme le montre les dessins de droite de la figure ci-dessus, il suffit, pour obtenir un cas moins ``trivial'', de considérer chacun des 4 points déplacé d'une même distance, disons $s$, le long du rayon qui le relie au centre de $C_{0}$, soit dans la direction du centre, donc vers l'intérieur du cercle, soit dans la direction opposée, donc vers l'extérieur.

Puisque chacun des 4 points est susceptible d'être décalé dans deux directions opposées, il y a 16 configurations possibles, dont 2 font partie du cas trivial de départ ( celles où tous les points sont décalés du même côté, soit vers l'intérieur, soit vers l'extérieur). Il reste donc 14 cas intéressants. Il faut cependant remarquer que décaler par exemple trois points vers l'extérieur et un point vers l'intérieur revient au même que décaler trois points vers l'intérieur et un point vers l'extérieur : le même cercle est solution des deux configurations. En conséquence, il ne reste qu'en fait 7 configurations différentes, qui se répartissent en deux types :

Ces constatations nous conduisent directement à la construction géométrique, puisque l'on sait que trois points distincts non alignés dans le plan déterminent univoquement un cercle.

En effet, si on désigne ces points par $P_1$, $P_2$ et $P_3$, alors le centre $C$ du cercle est l'intersection de la médiatrice de $P_1$ et $P_2$ avec la médiatrice de $P_2$ et $P_3$. Pour parvenir à la solution du type #1, il suffit alors, à partir de ce centre, de tracer un cercle dont le rayon est la moyenne entre les distances $CP_0$ et $CP_1$ par exemple, où $P_0$ désigne le point à l'intérieur du cercle cherché. Pour les situations du type #2, le centre du cercle est l'intersection de la médiatrice des points, disons $P_1$ et $P_2$ situés à l'intérieur avec la médiatrice des points situés à l'extérieur, disons $P_3$ et $P_4$, et son rayon est la moyenne entre la distance du centre à $P_1$, respectivement $P_3$ par exemple.

En répétant le même processus pour les autres cas, on aboutit à la solution géométrique du problème. A ce stade, le géomètre, avec sa règle et son compas, se déclare satisfait et passe à autre chose.


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Jean-Marc Terrier
2001-02-08