MAT 3661


Théorie de Galois


Hiver 2017

Professeure:    Matilde Lalín

Échéancier:    Du 9 janvier au 12 avril, pas de cours le 27 février et le 1er mars

            lundi 14h30 - 15h30 Pav. Claire-Mcnicoll Z-350 et mercredi 9h30 - 11h30 S1-125 Pav. Jean Coutu

Disponibilités:   mardi 13h-14h et mercredi 11h30-12h30 A. Aisendstadt 5145

Tel:   (514) 343-6689

couriel:    mlalin at dms . umontreal . ca

Références:    "Abstract Algebra" Chap. 13 et 14, David Dummit et Richard Foote, 3rd edition, Willey and Sons, 2004


Information:



Devoir:

  • Solutionnaire du non-devoir 3 À ne pas remettre. Les réponses seront données ici au plus tard le 20 février. Si vous désirez avoir les réponses avant, enverrez-moi un courriel.


Avis importants:

  • Les disponibilitéas d'ici la date de l'examen final : mardi 18 et 25 avril 13h-14h, mercredi 19 avril 11h30-12h30, lundi 24 avril 10h-13h. Aussi sur rendez-vous: je suis en général disponible de 9h à 16h à exception de jeudi (et des jours fériés), mais il faut que vous me dissiez que vous viendrez me voir, sinon je travaille souvent chez moi.
  • Évaluation de l'enseignement!!! On participe!!!! Les évaluations de l'enseignement sont disponibles dans le système Omnivox jusq'à le 17 avril inclusivement. Vous êtes appelés à évaluer vos professeurs, chargés de cours et auxiliaires d'enseignement. Ces évaluations sont indispensables à l'amélioration de l'enseignement et sont strictement confidentielles.
  • Les sujets pour l'examen final sont tout dont on a discuté en classe jusqu'à la section 14.8 de Dummit-Foote (Notes 1-8 du cours). Il ne faut pas savoir les details des démonstrations de la fonction de Möebius ou la fonction φ d'Euler, mais il faut savoir comme calculer φ. Il ne faut pas savoir les constructions avec règle graduée (si avec règle non graduée). Il faut savoir les résultats d'irréductibilité des polynômes dont on a parlé au début de la session. Il faut savoir trouver le groupe de Galois d'un polynôme de degré <5. Pour degré 5 et plus, il faut seulement savoir trouver des groupes de Galos A_n et S_n, et avoir connaissances des enoncés des théorèmes Recognizing Galois groups S_n and A_n par K. Conrad. Pour plus de détails, consulter les notes du cours.
  • L'examen intra est corrigé. La moyenne a été 22,96 sur 30 et les notes sont sur Studium. Vous pouvez consulter votre intra: vendredi 24 février de 9 à 12, lundi 6 mars de 9 à 13, et sinon avant ou après les cours, ou pendant mes heures de disponibilité habituelles. Vous pouvez aussi prendre un rendez-vous pendant la semaine de rêlache. Solutionnaire de l'intra
  • Les sujets pour l'examen du 22 février sont tout dont on a discuté en classe jusqu'à la fin du chapitre 13 de Dummit-Foote (Notes 1-4 du cours). Il ne faut pas savoir les details des démonstrations de la fonction de Möebius ou la fonction φ d'Euler, mais il faut savoir comme calculer φ. Il ne faut pas savoir les constructions avec règle graduée (si avec règle non graduée). Il faut savoir les résultats d'irréductibilité des polynômes dont on a parlé au début de la session.
  • Barème: Devoir (20%), Examen intra (40%), Examen final (40%)
  • Les notes des devoirs 1 et 2 seront calculées comme le maximum entre chaque devoir et l'examen intra. Les notes des devoirs 3 et 4 seront calculées comme le maximum entre chaque devoir et l'examen final.


Dates importantes:
  • Devoir: le 23 janvier, le 6 février, le 20 mars, le 3 avril (en classe).
  • Examen intra: le 22 février, 9h30 - 11h30, S1-125 Pav. Jean Coutu.
  • Examen final: le 26 avril, 9h30 - 12h30, S1-125 Pav. Jean Coutu.


Thèmes:

  • le 12 avril : Il y a une infinité de polynômes avec groupe de Galois S_n, § 14.9 Extensions transcendantes, inséparables et groupes de Galois infinis (quelques commentaires... voir les notes de cours 9 si vous voulez plus de détails). Évaluation de l'enseignement.
  • le 5 avril : Extensions radicales, groupes résolubles, S_n n'est pas résoluble pour n>4, l'équation générale de degré n>4 n'est pas résoluble par radicaux, un exemple d'un polynôme qui n'est pas résoluble par radicaux.
  • le 3 avril : Extensions cycliques et d'Artin-Schreier.
  • le 29 mars : Les groupes de Galois des polynômes de degré 4, le théorème fondamental de l'algèbre, § 14.7 Extensions radicales et résolubles, introduction.
  • le 27 mars : Le discriminant, les groupes de Galois des polynômes de degré 2 et 3.
  • le 22 mars : Construction de polygônes reguliers, § 14.6 Groupes de Galois de polynômes, Groupes de Galois comme sous-groupes du groupe symétrique, sous-groupes transitifs, fonctions symétriques, polynôme général de degré n, théorème fondamental des fonctions symétriques, quelques rappels de S_n, A_n.
  • le 20 mars : théorème de l'élément primitif (continuation), § 14.5 Extensions cyclotomiques et abéliennes, problème inverse de Galois.
  • le 15 mars : Pas de cours, les classes de matin à l'Université de Montréal sont suspendues à cause de la neige.
  • le 13 mars : Extension composée de deux extensions Galoisiennes, clôture Galoisienne, extension simple, théorème de l'élément primitif.
  • le 8 mars : Conjugués, théorème fondamental, § 14.3 Extensions finies, § 14.4 Extensions composées.
  • le 6 mars : Discusion de l'intra, Si G_1 et G_2 sont différents, K^{G_1} et K^{G_2} sont différents, Galoisienne=corps de décomposition de polynôme séparable.
  • le 22 février : Intra!
  • le 20 février : (Petite discussion sur la clôture algèbrique des corps finis), le degree the K/K^G, ou G est un sous-groupe de Aut(K), |Aut(K/F)| borné par [K:F] pour les extensions finies, K/K^G galoisienne si G fini.
  • le 15 février : le nombre d'automorphismes d'un corps de décomposition, extensions Galoisiennes, groupe de Galois, § 14.2 indépendence linéaire de caractères.
  • le 13 février : quelques commentaires de plus sur le polynôme cyclotomique. § 14.1 Introduction à la théorie de Galois, les groups d'automorphismes et de F-automorphismes, le corps d'invariants par un sous-groupe d'automorphismes.
  • le 8 février : existence et unicité des corps finis, nombre de polynômes irréductibles sur les corps finis, degré de séparabilité et de inséparabilité extensions séparables et inséparables. § 13.6 Extensions cyclotomiques, degré et irréductibilité du polynôme cyclotomique.
  • le 6 février : dérivée et racines multiples, endomorphisme de Frobenius, corps parfait.
  • le 1er février : x^p-2, clôture algébrique, algébriquement clos, existence et unicité de la clôture algébrique, § 13.5 Extensions séparables et inséparables, dérivée.
  • le 30 janvier : existence et unicité du corps de décomposition, corps cyclotomique.
  • le 25 janvier : le degré de l'extension composée. § 13.3 Constructions à la règle et au compas, nombres constructibles. § 13.4 Corps de décomposition.
  • le 23 janvier : extensions de type fini et se relation avec les extensions finies et algébriques, le sous-corps des éléments algébriques, l'extension composée.
  • le 18 janvier : isomorphisme des extensions obtenues en ajoutant racines différentes du même polynôme irréductible. § 13.2 Extensions algébriques, polynôme minimal, extensions finies, degré d'une tour d'extensions.
  • le 16 janvier : Extensions resultants d'ajouter la racine d'un polynôme, corps engendré par des éléments particuliers, extension simple.
  • le 11 janvier : Les trois grands problèmes de l'antiquité. Rappel d'anneaux de polynômes : euclidien, principal, factoriel, irréductibilité. § 13.1 Notions de base de la théorie de corps: charactéristique, sous-corps premier, degré d'une extension
  • le 9 janvier : Bienvenue au cours! La théorie de Galois, de quoi s'agit-elle? Deux applications: la résolution d'équations algébriques et les constructions à la règle et au compas (introduction non détaillée).


Ouvrages complémentaires:




Dernière mise à jour: le 4 janvier 2017 (ou plus tard)