Club mathématique
de l'Université de Montréal

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Géométrie spectrale et billards‏

On fait l'expérience suivante : on place un mathématicien dans une pièce sans lumière avec un tambour qu'on fait vibrer à différentes fréquences. En supposant qu'il ait l'oreille parfaite (et qu'il soit très fort en calcul mental!), quelles informations sur la géométrie du tambour peut-il déduire seulement à partir des sons qu'il entend? Autrement dit, la question est la suivante : « Peut-on entendre la forme d'un tambour? ». Dans cette présentation, nous montrerons comment modéliser et généraliser ce problème, qui se trouve à la frontière de nombreux domaines des mathématiques.

En deuxième partie, nous ferons un bref survol du sujet de notre stage : les billards mathématiques. Notre mathématicien, qui est un amateur de billard, se pose la question suivante : à partir des trajectoires d'une boule de billard sur une table, que puis-je savoir sur le spectre d'un tambour qui aurait la même forme que la table? Nous donnerons quelques pistes de solution à cette question et nous étudierons divers exemples de tables de billard.

Par Dominique Rathel-Fournier et Léonard Houde-Therrien, (Étudiants, Université de Montréal)