Club mathématique
de l'Université de Montréal

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Les systèmes superintégrables‏

La physique est la science possédant le plus d'affinités avec les mathématiques. Effectivement, ce furent historiquement bien souvent des physiciens qui développèrent de nouveaux outils mathématiques, pour décrire les phénomènes naturels. C'est en partant de concepts physiques simples et en les décrivant mathématiquement que plusieurs équations fort utiles furent développées. À partir du principe de moindre action, du principe de relativité Galiléen et de propriétés fondamentales de l'espace et du temps, on obtient les équations de Lagrange. Celles-ci représentent une incroyable généralisation de plusieurs lois élémentaires de la mécanique classique, soit la conservation de l'énergie, de l'impulsion et du moment cinétique.

Le formalisme de Lagrange admet aussi une quantité d'intégrales de mouvement dépendant du nombre de degrés de liberté du système. Un système fermé doté de s degrés de liberté possède 2s-1 intégrales du mouvement indépendantes. La plus facile à obtenir est celle de l'énergie, de laquelle on trouve l'équation de Hamilton. Par définition, un système dont on connaît toutes ces intégrales est dit maximallement superintégrable et possède plusieurs particularités, la plus importante provenant d'une conjecture établit par Pavel Winternitz qui stipule qu'un système superintégrable est analytiquement résolvable.

La connaissance de systèmes superintégrables en mécanique quantique est grandement utile dans la création de modèles dans divers domaines de la physique. Leur étude est présentement en expansion et les méthodes pour trouver de nouveaux de ces systèmes ne cessent de s'accroître, je vous en présenterai si le temps me le permet.

Par Olivier Gingras, (Étudiant, Université de Montréal)