Club mathématique
de l'Université de Montréal

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Preuve de l'impossibilité de la trissection d'un angle (première partie)

Un problème vieux d'environ 2000-3000 ans est le suivant: on vous donne un compas et un outil qui vous permet de faire des lignes droites (une règle sans mesures dessus, autrement dit. Étant donné deux droites qui forment un angle dans le plan, à l'aide de ces deux outils, êtes vous capables de trissecter cet angle? La réponse est non, mais la preuve est récente et tient essentiellement dans le développement de la théorie des corps, une théorie algébrique (aucunement géométrique). C'est à l'aide d'une introduction à la théorie des corps (durant la première conférence) et d'une étude approfondie des corps correspondant à la situation géométrique (durant la deuxième conférence) que nous pourrons comprendre ensemble pourquoi il est impossible de trissecter un angle à la règle et au compas, mais aussi pourquoi la théorie des corps est un objet intéressant en soi.

Deux autres problèmes seront aussi facilement résolus après avoir développé toute cette théorie:

-Est-il possible, étant donné un cercle de rayon 1, de construire à la règle et au compas un carré qui ait la même aire que le cercle? (Quadrature du cercle)

-Est il possible, étant donné un cube de volume 1, avec une version équivalente du compas, mais en 3D (qui bâtit des sphères de rayon choisi au lieu de cercles) et d'un 'rayon laser' au lieu d'une règle (pour tracer des lignes droites), de bâtir un cube de volume 2?

Par Patrick Da Silva, (Étudiant Université de Montréal)