Topologie et théorème du point fixe de Brouwer

La topologie différentielle est un outil puissant qui est non seulement
palpitante en elle-même, mais qui a aussi de nombreuses "applications".
Parmi les plus faciles (et néanmoins forts intéressantes) on compte une
élégante démonstration du théorème du point fixe de Brouwer. Ce théorème
stipule que pour toute application continue f: D^n -> D^n (où D^n est le
disque unitaire de dimension n) il existe au moins un point fixe, i.e.:
il existe x dans D^n tel que f(x) = x.

Je présenterai d'abord les notions essentielles de topologie (définition
d'une variété, d'une application lisse et de sa dérivée, d'une valeur
régulière, etc.) et donnerai ensuite une idée de la preuve. Au passage,
si le temps le permet et que le public est enthousiaste, je donnerai
peut-être une preuve du théorème fondamental de l'algèbre.

Le manque flagrant de rigueur sera compensé par beaucoup de (jolis) dessins
et de gesticulation.
    


par Loïc Séguin-Charbonneau (Université de Montréal)