Club mathématique
de l'Université de Montréal

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Introduction à la géométrie intégrale

L'expérience de l'aiguille de Buffon consiste à laisser tomber aléatoirement une aiguille sur un plancher couvert de lignes parallèles et de chercher à évaluer la probabilité que l'aiguille une fois tombée traverse l'une des lignes. Un calcul simple permet de calculer cette probabilité. Il s'agit d'un exemple qui illustre bien ce à quoi se consacre la géométrie intégrale, c'est-à-dire l'étude de quantités ou de probabilités géométriques à l'aide de moyens analytiques. Un exemple moins bien connu est le suivant: si vous lancez deux dés (cubiques!) aléatoirement dans les airs, quelle est la probabilité que, advenant une collision, celle-ci s'effectue arête sur arête? Et sommet sur face? Nous ferons d'abord un bref survol de ces problèmes pour ensuite présenter la mesure cinématique, laquelle permet de définir plusieurs types d'intégrales capables d'évaluer les aires et longueurs d'objets géométriques divers. Cela nous permettra de conclure en présentant les formules de Crofton et de Poincaré.

Par Guillaume Roy-Fortin, (Doctorant, Université de Montréal)