Christiane Rousseau, DMS, Université de Montréal

 

Mercredi 19 novembre 12h30 à 13h30

 

Salle Z-205 Pavillion McNicoll.

 

Titre: Du théorème de Rolle à la théorie de Khovanskii

Résumé: Le théorème de Rolle permet de montrer qu’un polynôme de degré n a au plus n racines réelles. Le théorème de Descartes affirme qu’il en a beaucoup moins s’il a peu de monômes. C’est le cas du polynôme x^n - 1. Mais pourquoi? Si l’on permet à n de prendre une valeur positive non entière, la fonction x^n - 1 a encore au plus une racine réelle. Mais, si on remplace la fonction x^n par la fonction sin x, le résultat n’est plus vrai. Pourquoi? Qu’est-ce qui distingue la fonction x^n de la fonction sin x?

La théorie de Khovanskii donne une réponse à ces questions. Un théorème de Rolle généralisé (le théorème de Rolle pour les systèmes dynamiques) permet de borner le nombre de solutions de systèmes d’équations transcendantes par le nombre de solutions de systèmes algébriques et donc d’obtenir des résultats de finitude. Les applications de la théorie sont très nombreuses. En effet, la modélisation ramène souvent la solution de problèmes en mathématiques aux solutions d’un système d’équations à plusieurs variables.