Activités

La finance mathématique : de l’arbre binomial à la formule de Black-Scholes

Maciej Augustyniak et Claudia Gagné (Université de Montréal)

La formule la plus populaire dans le monde de la finance mathématique est la formule de Black-Scholes. Cette formule est le résultat de travaux réalisés par Fischer Black, Robert Merton et Myron Scholes au début des années 1970. L’importance de ces travaux a d’ailleurs été reconnue avec un prix Nobel en 1997. La formule de Black-Scholes permet de trouver le prix d’un instrument financier, appelé option, sous différentes hypothèses mathématiques. Bien que la formule puisse sembler compliquée à première vue, sa dérivation  est en fait très intuitive lorsqu’on fait allusion à un arbre binomial. Nous verrons donc les principes entourant la dérivation de la formule de Black-Scholes et nous expliquerons comment obtenir cette formule à partir d’un arbre binomial.

 

CMeN (Mathématiciens en noir) / MiB (Mathematicians in Black)

Charles Alexandre Bédard, François De L'Isle, Jean-Michel Lemay, Serge-Olivier Paquette, Yvan Saint-Aubin, département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal

En simulant une entrevue d'embauche pour une agence gouvernementale très secrète, nous testerons de manière amusante la capacité des campeurs à réfléchir de manière originale, sous pression et en équipe. Les entrevues se font sous forme d'épreuves qui demandent une réflexion hors norme. Une série d'indices sera disponible auprès de chaque juge, mais à quel prix? Une utilisation judicieuse des ressources disponibles sera requise pour ultimement devenir une équipe du MiB!

 

Pourquoi est-il amusant et important de classifier des structures mathématiques ? (une demi-journée)

François Bergeron (UQAM)

À première vue, il peut sembler assez ennuyant de simplement chercher à classifier des objets
mathématiques d’un certain type. Ce n’est que lorsqu’on cherche vraiment à le faire qu’on s’aperçoit qu’il est
impossible de classifier des objets d'une même nature, sans comprendre en profondeur la nature de ce qui les unit.
Bien entendu, plus les objets sont «beaux», plus le problème est intéressant.
Classifier devient alors un prétexte et un guide pour l’exploration des multiples splendeurs de ces beaux objets.
Nous allons choisir quelques cas typiques de tels beaux objets mathématiques, et expliquant au passage ce qui les rend intéressants.
Parmi ceux-ci, on considérera (entre autres): les chemins dans le plan discret (qui fascinent les physiciens), les arbres binaires (qui apparaissent partout en informatique), les triangulations d’un polygone, et les relations surprenantes entre ces objets.

 

Enquêtes mathématiques (une demi-journée)

Alain Hertz (École Polytechnique et GERAD)

Treize personnes sont enfermées dans 13 cellules différentes, sans aucun moyen de communication. Le geôlier leur donne une chance de quitter les lieux. Pour cela, il a préparé 13 listes de noms de prisonniers et en a donné une à chacun d’eux. À chaque prisonnier, il a tenu les mêmes propos : ‘Voici une liste de noms dans laquelle le vôtre n’apparaît pas. J’ai distribué une telle liste aux 12 autres prisonniers. Toutes les personnes sur votre liste ont votre nom sur la leur. Et j’ai fait en sorte que chaque paire de listes ait exactement un nom en commun. Par exemple, les listes d’Alain et Charles n’ont que le nom de Sébastien en commun. Autre exemple, les listes d’Alain et Sébastien n’ont que le nom de Richard en commun. Dans une heure, vous devrez me donner à tour de rôle un nom se trouvant sur la liste de Miguel. Si au moins l’un d’entre vous se trompe, je vous garderai tous en captivité. Sinon, vous serez tous libres. Les prisonniers qui n’ont pas le nom de Miguel sur leur liste (mis à part Miguel lui-même) ne voient pas comment deviner qui s’y trouve, si ce n’est au hasard, ce qui laisse peu de chance au groupe pour recouvrer la liberté. Aussi paradoxal que cela puisse paraître, ce raisonnement est faux. Les 13 prisonniers peuvent tous donner une bonne réponse, malgré le fait qu’ils ne peuvent pas se parler. Comment doivent-ils s’y prendre ?

De telles énigmes peuvent facilement être résolues en ayant recours à la théorie des graphes qui constitue un outil de modélisation dont la seule limite est celle de votre imagination. Durant l’activité, vous jouerez le rôle d’enquêteur, le but ultime étant cependant de vous démontrer qu’avec des graphes, on peut construire des horaires, planifier des tournées de livraison, et résoudre plein d’autres problèmes de la vie de tous les jours.

 

C'est quoi un nombre réel? (une demie-journée)

Marc Laforest (École Polytechnique)

Les nombres réels, tels qu'ils sont présentés au secondaire et au collégial, sont des
développement décimaux, possiblement infinis. Il existe toutefois d'autres représentations des
nombres réels, comme celles en fractions continues, et celles-ci nous enseignent davantage
sur ces nombres. Des fois, ces autres représentations sont plus descriptives, et des fois elles
permettent directement la résolution de certains problèmes en théorie des nombres.

 

Le cube de Rubik (une demi-journée)

Matilde Lalin (Université de Montréal)

Venez vous amuser avec le cube de Rubik! Nous allons apprendre une méthode de résolution, parler du nombre de Dieu et trouver le nombre total de positions du cube! Finalement, nous allons parler des cubes de Rubik généraux n x n x n.

 

Optimisation, jeux, paradoxes (une demi-journée)

Patrice Marcotte (Université de Montréal)

Dans cette activité, nous allons explorer des situations  où interviennent des acteurs dont les comportements peuvent être conflictuels. Le cadre d'analyse sera celui de la théorie des jeux et des concepts qui lui sont associés dont celui, fondamental, d'équilibre. Vous serez amenés à découvrir par vous-mêmes quelques paradoxes et les moyens de les contourner. La présentation fera la part belle à des applications dans les domaines du transport et de  la planification énergétique.

 

Les mathématiques de l'Origami (une demi-journée)

Christiane Rousseau (Université de Montréal)

Tout le monde connaît l’Origami, cet art japonais de pliage du papier, plusieurs fois séculaire. Mais quel est le lien avec les mathématiques ? Les mathématiciens, avides d’axiomatisation ont introduit des axiomes et se sont intéressés aux constructions géométriques réalisables avec ces axiomes. On présentera ces axiomes et leur application pour diverses constructions, dont la construction des coniques, et la solution de problèmes célèbres comme la trisection de l’angle et la duplication du cube. Étant donné un segment de longueur 1, on étudiera les nombres réels que l’on peut construire à l’aide de pliages, et on comparera ces constructions aux constructions avec règle et compas. Les pliages sont importants dans de nombreuses applications technologiques : plier un coussin gonflable, etc., si bien que la science du pliage est un domaine de recherche actif en informatique théorique. On  étudiera quelques développements très modernes dans le sujet. L’activité se déroulera en grande partie sous forme de problèmes et de constructions avec du papier.

 

Débruitage de signaux et d'images

Olivier Rousseau (Cégep de l'Outaouais)

Il arrive fréquemment qu'un signal ou une image contienne du bruit. Par exemple: les ondes radio,
les images de microscopes électroniques, les images satellites, les images médicales, etc.

Dans cet atelier interactif, vous allez découvrir comment se servir de mathématiques
de base pour débruiter un signal ou une image. L'atelier se tiendra dans un laboratoire informatique et vous
serez invités à trouver des moyens de débruiter des médias de plus en plus complexes. Un peu de théorie
vous sera fournie au fur à mesure pour complémenter votre apprentissage.

 

Les mathématiques de l’intelligence… artificielle.

Alain Tapp et Stéphanie Larocque (Université de Montréal)

Les robots seront-ils, un jour, plus intelligents que nous? La question est certainement plus sérieuse que pourraient le laisser croire les récents films de science-fiction. Les ordinateurs nous battent déjà dans à peu près tous les jeux et ils nous rendent des services de plus en plus sophistiqués, voir astucieux. L'intelligence artificielle d’aujourd’hui est surtout ce qu’on appelle l'apprentissage machine, la science qui étudie comment un ordinateur peut apprendre à résoudre un problème à partir d’exemples. Ce domaine est beaucoup plus mathématique que vous ne pourrez le croire et, en une demi journée, nous allons explorer différents aspects techniques et philosophiques du domaine.

 

Discussions de sujets mathématiques choisis par les campeuses et campeurs

Animation par Christiane Rousseau et son équipe

Avez-vous déjà entendu parler de chaos et cela vous a intrigué ? Êtes-vous fasciné par la puissance des outils mathématiques loin du domaine pour lequel ils ont été initialement créés ? Comment fonctionne un scanneur en imagerie médicale, alors qu'il n'y a pas d'impression de plaque photographique ? Faire des mathématiques et de la science, c'est aussi poser des questions. Alors, pensez aux questions qui vous ont toujours intrigué ou aux nouvelles idées que vous aurez eues pendant le camp et nous échangerons ensemble sur ces questions et idées.